25left(4+xright)^2+7(5-x)(5+x)=295-45x^2 lösen

$$25 { \left(4+x \right) }^{ 2 } +7(5-x)(5+x)=295-45 { x }^{ 2 }$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63}\approx -1,587301587+1,387414183i$$

$$x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}\approx -1,587301587-1,387414183i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

\left(4+x\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$25\left(16+8x+x^{2}\right)+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 25 mit 16+8x+x^{2} zu multiplizieren.

$$400+200x+25x^{2}+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 7 mit 5-x zu multiplizieren.

$$400+200x+25x^{2}+\left(35-7x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 35-7x mit 5+x zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$400+200x+25x^{2}+175-7x^{2}=295-45x^{2}$$

Addieren Sie 400 und 175, um 575 zu erhalten.

$$575+200x+25x^{2}-7x^{2}=295-45x^{2}$$

Kombinieren Sie 25x^{2} und -7x^{2}, um 18x^{2} zu erhalten.

$$575+200x+18x^{2}=295-45x^{2}$$

Subtrahieren Sie 295 von beiden Seiten.

$$575+200x+18x^{2}-295=-45x^{2}$$

Subtrahieren Sie 295 von 575, um 280 zu erhalten.

$$280+200x+18x^{2}=-45x^{2}$$

Auf beiden Seiten 45x^{2} addieren.

$$280+200x+18x^{2}+45x^{2}=0$$

Kombinieren Sie 18x^{2} und 45x^{2}, um 63x^{2} zu erhalten.

$$280+200x+63x^{2}=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$63x^{2}+200x+280=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 63, b durch 200 und c durch 280, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-200±\sqrt{200^{2}-4\times 63\times 280}}{2\times 63}$$

200 zum Quadrat.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-4\times 63\times 280}}{2\times 63}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 63.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-252\times 280}}{2\times 63}$$

Multiplizieren Sie -252 mit 280.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-70560}}{2\times 63}$$

Addieren Sie 40000 zu -70560.

$$x=\frac{-200±\sqrt{-30560}}{2\times 63}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -30560.

$$x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{2\times 63}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 63.

$$x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{126}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{126}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -200 zu 4i\sqrt{1910}.

$$x=\frac{-200+4\sqrt{1910}i}{126}$$

Dividieren Sie -200+4i\sqrt{1910} durch 126.

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{126}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 4i\sqrt{1910} von -200.

$$x=\frac{-4\sqrt{1910}i-200}{126}$$

Dividieren Sie -200-4i\sqrt{1910} durch 126.

$$x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63} x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

\left(4+x\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$25\left(16+8x+x^{2}\right)+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 25 mit 16+8x+x^{2} zu multiplizieren.

$$400+200x+25x^{2}+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 7 mit 5-x zu multiplizieren.

$$400+200x+25x^{2}+\left(35-7x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 35-7x mit 5+x zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$400+200x+25x^{2}+175-7x^{2}=295-45x^{2}$$

Addieren Sie 400 und 175, um 575 zu erhalten.

$$575+200x+25x^{2}-7x^{2}=295-45x^{2}$$

Kombinieren Sie 25x^{2} und -7x^{2}, um 18x^{2} zu erhalten.

$$575+200x+18x^{2}=295-45x^{2}$$

Auf beiden Seiten 45x^{2} addieren.

$$575+200x+18x^{2}+45x^{2}=295$$

Kombinieren Sie 18x^{2} und 45x^{2}, um 63x^{2} zu erhalten.

$$575+200x+63x^{2}=295$$

Subtrahieren Sie 575 von beiden Seiten.

$$200x+63x^{2}=295-575$$

Subtrahieren Sie 575 von 295, um -280 zu erhalten.

$$200x+63x^{2}=-280$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$63x^{2}+200x=-280$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 63.

$$\frac{63x^{2}+200x}{63}=-\frac{280}{63}$$

Division durch 63 macht die Multiplikation mit 63 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x=-\frac{280}{63}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-280}{63} um den niedrigsten Term, indem Sie 7 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x=-\frac{40}{9}$$

Dividieren Sie \frac{200}{63}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{100}{63} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{100}{63} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x+\left(\frac{100}{63}\right)^{2}=-\frac{40}{9}+\left(\frac{100}{63}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{100}{63}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x+\frac{10000}{3969}=-\frac{40}{9}+\frac{10000}{3969}$$

Addieren Sie -\frac{40}{9} zu \frac{10000}{3969}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x+\frac{10000}{3969}=-\frac{7640}{3969}$$

Faktor x^{2}+\frac{200}{63}x+\frac{10000}{3969}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{100}{63}\right)^{2}=-\frac{7640}{3969}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{100}{63}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7640}{3969}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{100}{63}=\frac{2\sqrt{1910}i}{63} x+\frac{100}{63}=-\frac{2\sqrt{1910}i}{63}$$

\frac{100}{63} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63} x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}$$