24x-x^2=360 lösen

$$24 x - x ^ { 2 } = 360$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=-6\sqrt{6}i+12\approx 12-14,696938457i$$

$$x=12+6\sqrt{6}i\approx 12+14,696938457i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-x^{2}+24x=360$$

360 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$-x^{2}+24x-360=360-360$$

Die Subtraktion von 360 von sich selbst ergibt 0.

$$-x^{2}+24x-360=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -1, b durch 24 und c durch -360, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-24±\sqrt{24^{2}-4\left(-1\right)\left(-360\right)}}{2\left(-1\right)}$$

24 zum Quadrat.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-4\left(-1\right)\left(-360\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -1.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576+4\left(-360\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie 4 mit -360.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-1440}}{2\left(-1\right)}$$

Addieren Sie 576 zu -1440.

$$x=\frac{-24±\sqrt{-864}}{2\left(-1\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -864.

$$x=\frac{-24±12\sqrt{6}i}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -1.

$$x=\frac{-24±12\sqrt{6}i}{-2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-24±12\sqrt{6}i}{-2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -24 zu 12i\sqrt{6}.

$$x=\frac{-24+12\sqrt{6}i}{-2}$$

Dividieren Sie -24+12i\sqrt{6} durch -2.

$$x=-6\sqrt{6}i+12$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-24±12\sqrt{6}i}{-2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 12i\sqrt{6} von -24.

$$x=\frac{-12\sqrt{6}i-24}{-2}$$

Dividieren Sie -24-12i\sqrt{6} durch -2.

$$x=12+6\sqrt{6}i$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=-6\sqrt{6}i+12 x=12+6\sqrt{6}i$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-x^{2}+24x=360$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -1.

$$\frac{-x^{2}+24x}{-1}=\frac{360}{-1}$$

Division durch -1 macht die Multiplikation mit -1 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{24}{-1}x=\frac{360}{-1}$$

Dividieren Sie 24 durch -1.

$$x^{2}-24x=\frac{360}{-1}$$

Dividieren Sie 360 durch -1.

$$x^{2}-24x=-360$$

Dividieren Sie -24, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -12 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -12 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-24x+\left(-12\right)^{2}=-360+\left(-12\right)^{2}$$

-12 zum Quadrat.

$$x^{2}-24x+144=-360+144$$

Addieren Sie -360 zu 144.

$$x^{2}-24x+144=-216$$

Faktor x^{2}-24x+144. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-12\right)^{2}=-216$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-12\right)^{2}}=\sqrt{-216}$$

Vereinfachen.

$$x-12=6\sqrt{6}i x-12=-6\sqrt{6}i$$

Addieren Sie 12 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=12+6\sqrt{6}i x=-6\sqrt{6}i+12$$