24x^2-26x-8 lösen

$$24 x ^ { 2 } - 26 x - 8$$

Faktorisieren

$$2\left(3x-4\right)\left(4x+1\right)$$

Lösungsschritte

Klammern Sie 2 aus.

$$2\left(12x^{2}-13x-4\right)$$

Betrachten Sie 12x^{2}-13x-4. Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 12x^{2}+ax+bx-4 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-13 ab=12\left(-4\right)=-48$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -48 ergeben.

$$1,-48 2,-24 3,-16 4,-12 6,-8$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-48=-47 2-24=-22 3-16=-13 4-12=-8 6-8=-2$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -13 ergibt.

$$a=-16 b=3$$

12x^{2}-13x-4 als \left(12x^{2}-16x\right)+\left(3x-4\right) umschreiben.

$$\left(12x^{2}-16x\right)+\left(3x-4\right)$$

Klammern Sie 4x in 12x^{2}-16x aus.

$$4x\left(3x-4\right)+3x-4$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 3x-4 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(3x-4\right)\left(4x+1\right)$$

Schreiben Sie den vollständigen, faktorisierten Ausdruck um.

$$2\left(3x-4\right)\left(4x+1\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$24x^{2}-26x-8=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-\left(-26\right)±\sqrt{\left(-26\right)^{2}-4\times 24\left(-8\right)}}{2\times 24}$$

-26 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-26\right)±\sqrt{676-4\times 24\left(-8\right)}}{2\times 24}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 24.

$$x=\frac{-\left(-26\right)±\sqrt{676-96\left(-8\right)}}{2\times 24}$$

Multiplizieren Sie -96 mit -8.

$$x=\frac{-\left(-26\right)±\sqrt{676+768}}{2\times 24}$$

Addieren Sie 676 zu 768.

$$x=\frac{-\left(-26\right)±\sqrt{1444}}{2\times 24}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 1444.

$$x=\frac{-\left(-26\right)±38}{2\times 24}$$

Das Gegenteil von -26 ist 26.

$$x=\frac{26±38}{2\times 24}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 24.

$$x=\frac{26±38}{48}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{26±38}{48}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 26 zu 38.

$$x=\frac{64}{48}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{64}{48} um den niedrigsten Term, indem Sie 16 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{4}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{26±38}{48}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 38 von 26.

$$x=-\frac{12}{48}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-12}{48} um den niedrigsten Term, indem Sie 12 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{1}{4}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} \frac{4}{3} und für x_{2} -\frac{1}{4} ein.

$$24x^{2}-26x-8=24\left(x-\frac{4}{3}\right)\left(x-\left(-\frac{1}{4}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$24x^{2}-26x-8=24\left(x-\frac{4}{3}\right)\left(x+\frac{1}{4}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{4}{3} von x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$24x^{2}-26x-8=24\times \frac{3x-4}{3}\left(x+\frac{1}{4}\right)$$

Addieren Sie \frac{1}{4} zu x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$24x^{2}-26x-8=24\times \frac{3x-4}{3}\times \frac{4x+1}{4}$$

Multiplizieren Sie \frac{3x-4}{3} mit \frac{4x+1}{4}, indem Sie den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch bis auf die kleinsten möglichen Terme.

$$24x^{2}-26x-8=24\times \frac{\left(3x-4\right)\left(4x+1\right)}{3\times 4}$$

Multiplizieren Sie 3 mit 4.

$$24x^{2}-26x-8=24\times \frac{\left(3x-4\right)\left(4x+1\right)}{12}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 12 in 24 und 12 aufheben.

$$24x^{2}-26x-8=2\left(3x-4\right)\left(4x+1\right)$$

Auswerten

$$24x^{2}-26x-8$$