24x^2+x-10 lösen

$$24 x ^ { 2 } + x - 10$$

Faktorisieren

$$\left(8x-5\right)\left(3x+2\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 24x^{2}+ax+bx-10 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=1 ab=24\left(-10\right)=-240$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -240 ergeben.

$$-1,240 -2,120 -3,80 -4,60 -5,48 -6,40 -8,30 -10,24 -12,20 -15,16$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+240=239 -2+120=118 -3+80=77 -4+60=56 -5+48=43 -6+40=34 -8+30=22 -10+24=14 -12+20=8 -15+16=1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 1 ergibt.

$$a=-15 b=16$$

24x^{2}+x-10 als \left(24x^{2}-15x\right)+\left(16x-10\right) umschreiben.

$$\left(24x^{2}-15x\right)+\left(16x-10\right)$$

Klammern Sie 3x in der ersten und 2 in der zweiten Gruppe aus.

$$3x\left(8x-5\right)+2\left(8x-5\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 8x-5 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(8x-5\right)\left(3x+2\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$24x^{2}+x-10=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 24\left(-10\right)}}{2\times 24}$$

1 zum Quadrat.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 24\left(-10\right)}}{2\times 24}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 24.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-96\left(-10\right)}}{2\times 24}$$

Multiplizieren Sie -96 mit -10.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+960}}{2\times 24}$$

Addieren Sie 1 zu 960.

$$x=\frac{-1±\sqrt{961}}{2\times 24}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 961.

$$x=\frac{-1±31}{2\times 24}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 24.

$$x=\frac{-1±31}{48}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-1±31}{48}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -1 zu 31.

$$x=\frac{30}{48}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{30}{48} um den niedrigsten Term, indem Sie 6 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{5}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-1±31}{48}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 31 von -1.

$$x=-\frac{32}{48}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-32}{48} um den niedrigsten Term, indem Sie 16 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} \frac{5}{8} und für x_{2} -\frac{2}{3} ein.

$$24x^{2}+x-10=24\left(x-\frac{5}{8}\right)\left(x-\left(-\frac{2}{3}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$24x^{2}+x-10=24\left(x-\frac{5}{8}\right)\left(x+\frac{2}{3}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{5}{8} von x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$24x^{2}+x-10=24\times \frac{8x-5}{8}\left(x+\frac{2}{3}\right)$$

Addieren Sie \frac{2}{3} zu x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$24x^{2}+x-10=24\times \frac{8x-5}{8}\times \frac{3x+2}{3}$$

Multiplizieren Sie \frac{8x-5}{8} mit \frac{3x+2}{3}, indem Sie den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch bis auf die kleinsten möglichen Terme.

$$24x^{2}+x-10=24\times \frac{\left(8x-5\right)\left(3x+2\right)}{8\times 3}$$

Multiplizieren Sie 8 mit 3.

$$24x^{2}+x-10=24\times \frac{\left(8x-5\right)\left(3x+2\right)}{24}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 24 in 24 und 24 aufheben.

$$24x^{2}+x-10=\left(8x-5\right)\left(3x+2\right)$$

Auswerten

$$24x^{2}+x-10$$