24x^2+6x-3=0 lösen

$$24 x ^ { 2 } + 6 x - 3 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$8x^{2}+2x-1=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 8x^{2}+ax+bx-1 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=2 ab=8\left(-1\right)=-8$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -8 ergeben.

$$-1,8 -2,4$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+8=7 -2+4=2$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 2 ergibt.

$$a=-2 b=4$$

8x^{2}+2x-1 als \left(8x^{2}-2x\right)+\left(4x-1\right) umschreiben.

$$\left(8x^{2}-2x\right)+\left(4x-1\right)$$

Klammern Sie 2x in 8x^{2}-2x aus.

$$2x\left(4x-1\right)+4x-1$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 4x-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(4x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 4x-1=0 und 2x+1=0.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{2}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$24x^{2}+6x-3=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 24, b durch 6 und c durch -3, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 24\left(-3\right)}}{2\times 24}$$

6 zum Quadrat.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 24\left(-3\right)}}{2\times 24}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 24.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-96\left(-3\right)}}{2\times 24}$$

Multiplizieren Sie -96 mit -3.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+288}}{2\times 24}$$

Addieren Sie 36 zu 288.

$$x=\frac{-6±\sqrt{324}}{2\times 24}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 324.

$$x=\frac{-6±18}{2\times 24}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 24.

$$x=\frac{-6±18}{48}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-6±18}{48}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -6 zu 18.

$$x=\frac{12}{48}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{12}{48} um den niedrigsten Term, indem Sie 12 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{1}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-6±18}{48}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 18 von -6.

$$x=-\frac{24}{48}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-24}{48} um den niedrigsten Term, indem Sie 24 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$24x^{2}+6x-3=0$$

Addieren Sie 3 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$24x^{2}+6x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Die Subtraktion von -3 von sich selbst ergibt 0.

$$24x^{2}+6x=-\left(-3\right)$$

Subtrahieren Sie -3 von 0.

$$24x^{2}+6x=3$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 24.

$$\frac{24x^{2}+6x}{24}=\frac{3}{24}$$

Division durch 24 macht die Multiplikation mit 24 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{6}{24}x=\frac{3}{24}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{6}{24} um den niedrigsten Term, indem Sie 6 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x=\frac{3}{24}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{3}{24} um den niedrigsten Term, indem Sie 3 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x=\frac{1}{8}$$

Dividieren Sie \frac{1}{4}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{1}{8} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{1}{8} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{1}{8}+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{1}{8}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{1}{8}+\frac{1}{64}$$

Addieren Sie \frac{1}{8} zu \frac{1}{64}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{9}{64}$$

Faktor x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{9}{64}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{64}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{1}{8}=\frac{3}{8} x+\frac{1}{8}=-\frac{3}{8}$$

\frac{1}{8} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{2}$$