24x^2+38x+15 lösen

$$24 x ^ { 2 } + 38 x + 15$$

Faktorisieren

$$\left(4x+3\right)\left(6x+5\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 24x^{2}+ax+bx+15 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=38 ab=24\times 15=360$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 360 ergeben.

$$1,360 2,180 3,120 4,90 5,72 6,60 8,45 9,40 10,36 12,30 15,24 18,20$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+360=361 2+180=182 3+120=123 4+90=94 5+72=77 6+60=66 8+45=53 9+40=49 10+36=46 12+30=42 15+24=39 18+20=38$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 38 ergibt.

$$a=18 b=20$$

24x^{2}+38x+15 als \left(24x^{2}+18x\right)+\left(20x+15\right) umschreiben.

$$\left(24x^{2}+18x\right)+\left(20x+15\right)$$

Klammern Sie 6x in der ersten und 5 in der zweiten Gruppe aus.

$$6x\left(4x+3\right)+5\left(4x+3\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 4x+3 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(4x+3\right)\left(6x+5\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$24x^{2}+38x+15=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-38±\sqrt{38^{2}-4\times 24\times 15}}{2\times 24}$$

38 zum Quadrat.

$$x=\frac{-38±\sqrt{1444-4\times 24\times 15}}{2\times 24}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 24.

$$x=\frac{-38±\sqrt{1444-96\times 15}}{2\times 24}$$

Multiplizieren Sie -96 mit 15.

$$x=\frac{-38±\sqrt{1444-1440}}{2\times 24}$$

Addieren Sie 1444 zu -1440.

$$x=\frac{-38±\sqrt{4}}{2\times 24}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 4.

$$x=\frac{-38±2}{2\times 24}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 24.

$$x=\frac{-38±2}{48}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-38±2}{48}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -38 zu 2.

$$x=-\frac{36}{48}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-36}{48} um den niedrigsten Term, indem Sie 12 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-38±2}{48}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2 von -38.

$$x=-\frac{40}{48}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-40}{48} um den niedrigsten Term, indem Sie 8 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{5}{6}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} -\frac{3}{4} und für x_{2} -\frac{5}{6} ein.

$$24x^{2}+38x+15=24\left(x-\left(-\frac{3}{4}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{5}{6}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$24x^{2}+38x+15=24\left(x+\frac{3}{4}\right)\left(x+\frac{5}{6}\right)$$

Addieren Sie \frac{3}{4} zu x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$24x^{2}+38x+15=24\times \frac{4x+3}{4}\left(x+\frac{5}{6}\right)$$

Addieren Sie \frac{5}{6} zu x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$24x^{2}+38x+15=24\times \frac{4x+3}{4}\times \frac{6x+5}{6}$$

Multiplizieren Sie \frac{4x+3}{4} mit \frac{6x+5}{6}, indem Sie den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch bis auf die kleinsten möglichen Terme.

$$24x^{2}+38x+15=24\times \frac{\left(4x+3\right)\left(6x+5\right)}{4\times 6}$$

Multiplizieren Sie 4 mit 6.

$$24x^{2}+38x+15=24\times \frac{\left(4x+3\right)\left(6x+5\right)}{24}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 24 in 24 und 24 aufheben.

$$24x^{2}+38x+15=\left(4x+3\right)\left(6x+5\right)$$

Auswerten

$$\left(4x+3\right)\left(6x+5\right)$$