24x^2+1-11x lösen

$$24 x ^ { 2 } + 1 - 11 x$$

Faktorisieren

$$\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$

Lösungsschritte

Ordnen Sie das Polynom neu an, um es in die Standardform zu bringen. Platzieren Sie die Terme in der Reihenfolge von der höchsten zur niedrigsten Potenz.

$$24x^{2}-11x+1$$

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 24x^{2}+ax+bx+1 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-11 ab=24\times 1=24$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 24 ergeben.

$$-1,-24 -2,-12 -3,-8 -4,-6$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-24=-25 -2-12=-14 -3-8=-11 -4-6=-10$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -11 ergibt.

$$a=-8 b=-3$$

24x^{2}-11x+1 als \left(24x^{2}-8x\right)+\left(-3x+1\right) umschreiben.

$$\left(24x^{2}-8x\right)+\left(-3x+1\right)$$

Klammern Sie 8x in der ersten und -1 in der zweiten Gruppe aus.

$$8x\left(3x-1\right)-\left(3x-1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 3x-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$24x^{2}-11x+1=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 24}}{2\times 24}$$

-11 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 24}}{2\times 24}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 24.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-96}}{2\times 24}$$

Addieren Sie 121 zu -96.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{25}}{2\times 24}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 25.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±5}{2\times 24}$$

Das Gegenteil von -11 ist 11.

$$x=\frac{11±5}{2\times 24}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 24.

$$x=\frac{11±5}{48}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{11±5}{48}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 11 zu 5.

$$x=\frac{16}{48}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{16}{48} um den niedrigsten Term, indem Sie 16 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{1}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{11±5}{48}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 5 von 11.

$$x=\frac{6}{48}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{6}{48} um den niedrigsten Term, indem Sie 6 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{1}{8}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} \frac{1}{3} und für x_{2} \frac{1}{8} ein.

$$24x^{2}-11x+1=24\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x-\frac{1}{8}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{1}{3} von x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$24x^{2}-11x+1=24\times \frac{3x-1}{3}\left(x-\frac{1}{8}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{1}{8} von x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$24x^{2}-11x+1=24\times \frac{3x-1}{3}\times \frac{8x-1}{8}$$

Multiplizieren Sie \frac{3x-1}{3} mit \frac{8x-1}{8}, indem Sie den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch bis auf die kleinsten möglichen Terme.

$$24x^{2}-11x+1=24\times \frac{\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)}{3\times 8}$$

Multiplizieren Sie 3 mit 8.

$$24x^{2}-11x+1=24\times \frac{\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)}{24}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 24 in 24 und 24 aufheben.

$$24x^{2}-11x+1=\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$

Auswerten

$$\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$