24x^2-38x+15=0 lösen

$$24 { x }^{ 2 } -38x+15=0$$

Nach x auflösen

$$x=\frac{3}{4}=0,75$$

$$x=\frac{5}{6}\approx 0,833333333$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 24x^{2}+ax+bx+15 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-38 ab=24\times 15=360$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 360 ergeben.

$$-1,-360 -2,-180 -3,-120 -4,-90 -5,-72 -6,-60 -8,-45 -9,-40 -10,-36 -12,-30 -15,-24 -18,-20$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-360=-361 -2-180=-182 -3-120=-123 -4-90=-94 -5-72=-77 -6-60=-66 -8-45=-53 -9-40=-49 -10-36=-46 -12-30=-42 -15-24=-39 -18-20=-38$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -38 ergibt.

$$a=-20 b=-18$$

24x^{2}-38x+15 als \left(24x^{2}-20x\right)+\left(-18x+15\right) umschreiben.

$$\left(24x^{2}-20x\right)+\left(-18x+15\right)$$

Klammern Sie 4x in der ersten und -3 in der zweiten Gruppe aus.

$$4x\left(6x-5\right)-3\left(6x-5\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 6x-5 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(6x-5\right)\left(4x-3\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 6x-5=0 und 4x-3=0.

$$x=\frac{5}{6} x=\frac{3}{4}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$24x^{2}-38x+15=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 24, b durch -38 und c durch 15, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{\left(-38\right)^{2}-4\times 24\times 15}}{2\times 24}$$

-38 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-4\times 24\times 15}}{2\times 24}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 24.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-96\times 15}}{2\times 24}$$

Multiplizieren Sie -96 mit 15.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-1440}}{2\times 24}$$

Addieren Sie 1444 zu -1440.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{4}}{2\times 24}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 4.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±2}{2\times 24}$$

Das Gegenteil von -38 ist 38.

$$x=\frac{38±2}{2\times 24}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 24.

$$x=\frac{38±2}{48}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{38±2}{48}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 38 zu 2.

$$x=\frac{40}{48}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{40}{48} um den niedrigsten Term, indem Sie 8 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{5}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{38±2}{48}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2 von 38.

$$x=\frac{36}{48}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{36}{48} um den niedrigsten Term, indem Sie 12 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{3}{4}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{5}{6} x=\frac{3}{4}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$24x^{2}-38x+15=0$$

15 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$24x^{2}-38x+15-15=-15$$

Die Subtraktion von 15 von sich selbst ergibt 0.

$$24x^{2}-38x=-15$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 24.

$$\frac{24x^{2}-38x}{24}=-\frac{15}{24}$$

Division durch 24 macht die Multiplikation mit 24 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{38}{24}\right)x=-\frac{15}{24}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-38}{24} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{19}{12}x=-\frac{15}{24}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-15}{24} um den niedrigsten Term, indem Sie 3 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{19}{12}x=-\frac{5}{8}$$

Dividieren Sie -\frac{19}{12}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{19}{24} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{19}{24} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{19}{12}x+\left(-\frac{19}{24}\right)^{2}=-\frac{5}{8}+\left(-\frac{19}{24}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{19}{24}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{19}{12}x+\frac{361}{576}=-\frac{5}{8}+\frac{361}{576}$$

Addieren Sie -\frac{5}{8} zu \frac{361}{576}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{19}{12}x+\frac{361}{576}=\frac{1}{576}$$

Faktor x^{2}-\frac{19}{12}x+\frac{361}{576}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{19}{24}\right)^{2}=\frac{1}{576}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{576}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{19}{24}=\frac{1}{24} x-\frac{19}{24}=-\frac{1}{24}$$

Addieren Sie \frac{19}{24} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{5}{6} x=\frac{3}{4}$$