24k^2+50k+24=0 lösen

$$24 { k }^{ 2 } +50k+24 = 0$$

Nach k auflösen

$$k = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1,333333333$$

$$k=-\frac{3}{4}=-0,75$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$12k^{2}+25k+12=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 12k^{2}+ak+bk+12 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=25 ab=12\times 12=144$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 144 ergeben.

$$1,144 2,72 3,48 4,36 6,24 8,18 9,16 12,12$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+144=145 2+72=74 3+48=51 4+36=40 6+24=30 8+18=26 9+16=25 12+12=24$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 25 ergibt.

$$a=9 b=16$$

12k^{2}+25k+12 als \left(12k^{2}+9k\right)+\left(16k+12\right) umschreiben.

$$\left(12k^{2}+9k\right)+\left(16k+12\right)$$

Klammern Sie 3k in der ersten und 4 in der zweiten Gruppe aus.

$$3k\left(4k+3\right)+4\left(4k+3\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 4k+3 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(4k+3\right)\left(3k+4\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 4k+3=0 und 3k+4=0.

$$k=-\frac{3}{4} k=-\frac{4}{3}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$24k^{2}+50k+24=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 24, b durch 50 und c durch 24, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-50±\sqrt{50^{2}-4\times 24\times 24}}{2\times 24}$$

50 zum Quadrat.

$$k=\frac{-50±\sqrt{2500-4\times 24\times 24}}{2\times 24}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 24.

$$k=\frac{-50±\sqrt{2500-96\times 24}}{2\times 24}$$

Multiplizieren Sie -96 mit 24.

$$k=\frac{-50±\sqrt{2500-2304}}{2\times 24}$$

Addieren Sie 2500 zu -2304.

$$k=\frac{-50±\sqrt{196}}{2\times 24}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 196.

$$k=\frac{-50±14}{2\times 24}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 24.

$$k=\frac{-50±14}{48}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung k=\frac{-50±14}{48}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -50 zu 14.

$$k=-\frac{36}{48}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-36}{48} um den niedrigsten Term, indem Sie 12 extrahieren und aufheben.

$$k=-\frac{3}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung k=\frac{-50±14}{48}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 14 von -50.

$$k=-\frac{64}{48}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-64}{48} um den niedrigsten Term, indem Sie 16 extrahieren und aufheben.

$$k=-\frac{4}{3}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$k=-\frac{3}{4} k=-\frac{4}{3}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$24k^{2}+50k+24=0$$

24 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$24k^{2}+50k+24-24=-24$$

Die Subtraktion von 24 von sich selbst ergibt 0.

$$24k^{2}+50k=-24$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 24.

$$\frac{24k^{2}+50k}{24}=-\frac{24}{24}$$

Division durch 24 macht die Multiplikation mit 24 rückgängig.

$$k^{2}+\frac{50}{24}k=-\frac{24}{24}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{50}{24} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k=-\frac{24}{24}$$

Dividieren Sie -24 durch 24.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k=-1$$

Dividieren Sie \frac{25}{12}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{25}{24} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{25}{24} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}=-1+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{25}{24}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k+\frac{625}{576}=-1+\frac{625}{576}$$

Addieren Sie -1 zu \frac{625}{576}.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k+\frac{625}{576}=\frac{49}{576}$$

Faktor k^{2}+\frac{25}{12}k+\frac{625}{576}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(k+\frac{25}{24}\right)^{2}=\frac{49}{576}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(k+\frac{25}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{576}}$$

Vereinfachen.

$$k+\frac{25}{24}=\frac{7}{24} k+\frac{25}{24}=-\frac{7}{24}$$

\frac{25}{24} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$k=-\frac{3}{4} k=-\frac{4}{3}$$