24+5x-x^2=0 lösen

$$24 + 5 x - x ^ { 2 } = 0$$

Nach x auflösen

$$x=-3$$

$$x=8$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Ordnen Sie das Polynom neu an, um es in die Standardform zu bringen. Platzieren Sie die Terme in der Reihenfolge von der höchsten zur niedrigsten Potenz.

$$-x^{2}+5x+24=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als -x^{2}+ax+bx+24 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=5 ab=-24=-24$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -24 ergeben.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 5 ergibt.

$$a=8 b=-3$$

-x^{2}+5x+24 als \left(-x^{2}+8x\right)+\left(-3x+24\right) umschreiben.

$$\left(-x^{2}+8x\right)+\left(-3x+24\right)$$

Klammern Sie -x in der ersten und -3 in der zweiten Gruppe aus.

$$-x\left(x-8\right)-3\left(x-8\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-8 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-8\right)\left(-x-3\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-8=0 und -x-3=0.

$$x=8 x=-3$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-x^{2}+5x+24=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -1, b durch 5 und c durch 24, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-1\right)\times 24}}{2\left(-1\right)}$$

5 zum Quadrat.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-1\right)\times 24}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -1.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+4\times 24}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie 4 mit 24.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+96}}{2\left(-1\right)}$$

Addieren Sie 25 zu 96.

$$x=\frac{-5±\sqrt{121}}{2\left(-1\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 121.

$$x=\frac{-5±11}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -1.

$$x=\frac{-5±11}{-2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-5±11}{-2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -5 zu 11.

$$x=\frac{6}{-2}$$

Dividieren Sie 6 durch -2.

$$x=-3$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-5±11}{-2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 11 von -5.

$$x=-\frac{16}{-2}$$

Dividieren Sie -16 durch -2.

$$x=8$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=-3 x=8$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-x^{2}+5x+24=0$$

24 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$-x^{2}+5x+24-24=-24$$

Die Subtraktion von 24 von sich selbst ergibt 0.

$$-x^{2}+5x=-24$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -1.

$$\frac{-x^{2}+5x}{-1}=-\frac{24}{-1}$$

Division durch -1 macht die Multiplikation mit -1 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{5}{-1}x=-\frac{24}{-1}$$

Dividieren Sie 5 durch -1.

$$x^{2}-5x=-\frac{24}{-1}$$

Dividieren Sie -24 durch -1.

$$x^{2}-5x=24$$

Dividieren Sie -5, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{5}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{5}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=24+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{5}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=24+\frac{25}{4}$$

Addieren Sie 24 zu \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{121}{4}$$

Faktor x^{2}-5x+\frac{25}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{11}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{11}{2}$$

Addieren Sie \frac{5}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=8 x=-3$$