219x^2-12x+4=0 lösen

$$219 x ^ { 2 } - 12 x + 4 = 0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{2\sqrt{210}i}{219}+\frac{2}{73}\approx 0,02739726+0,13234134i$$

$$x=-\frac{2\sqrt{210}i}{219}+\frac{2}{73}\approx 0,02739726-0,13234134i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$219x^{2}-12x+4=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 219, b durch -12 und c durch 4, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 219\times 4}}{2\times 219}$$

-12 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 219\times 4}}{2\times 219}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 219.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-876\times 4}}{2\times 219}$$

Multiplizieren Sie -876 mit 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-3504}}{2\times 219}$$

Addieren Sie 144 zu -3504.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{-3360}}{2\times 219}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -3360.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±4\sqrt{210}i}{2\times 219}$$

Das Gegenteil von -12 ist 12.

$$x=\frac{12±4\sqrt{210}i}{2\times 219}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 219.

$$x=\frac{12±4\sqrt{210}i}{438}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{12±4\sqrt{210}i}{438}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 12 zu 4i\sqrt{210}.

$$x=\frac{12+4\sqrt{210}i}{438}$$

Dividieren Sie 12+4i\sqrt{210} durch 438.

$$x=\frac{2\sqrt{210}i}{219}+\frac{2}{73}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{12±4\sqrt{210}i}{438}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 4i\sqrt{210} von 12.

$$x=\frac{-4\sqrt{210}i+12}{438}$$

Dividieren Sie 12-4i\sqrt{210} durch 438.

$$x=-\frac{2\sqrt{210}i}{219}+\frac{2}{73}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{2\sqrt{210}i}{219}+\frac{2}{73} x=-\frac{2\sqrt{210}i}{219}+\frac{2}{73}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$219x^{2}-12x+4=0$$

4 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$219x^{2}-12x+4-4=-4$$

Die Subtraktion von 4 von sich selbst ergibt 0.

$$219x^{2}-12x=-4$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 219.

$$\frac{219x^{2}-12x}{219}=-\frac{4}{219}$$

Division durch 219 macht die Multiplikation mit 219 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{219}\right)x=-\frac{4}{219}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-12}{219} um den niedrigsten Term, indem Sie 3 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{4}{73}x=-\frac{4}{219}$$

Dividieren Sie -\frac{4}{73}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{2}{73} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{2}{73} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{4}{73}x+\left(-\frac{2}{73}\right)^{2}=-\frac{4}{219}+\left(-\frac{2}{73}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{2}{73}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{4}{73}x+\frac{4}{5329}=-\frac{4}{219}+\frac{4}{5329}$$

Addieren Sie -\frac{4}{219} zu \frac{4}{5329}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{4}{73}x+\frac{4}{5329}=-\frac{280}{15987}$$

Faktor x^{2}-\frac{4}{73}x+\frac{4}{5329}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{2}{73}\right)^{2}=-\frac{280}{15987}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{73}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{280}{15987}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{2}{73}=\frac{2\sqrt{210}i}{219} x-\frac{2}{73}=-\frac{2\sqrt{210}i}{219}$$

Addieren Sie \frac{2}{73} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{2\sqrt{210}i}{219}+\frac{2}{73} x=-\frac{2\sqrt{210}i}{219}+\frac{2}{73}$$