21y^2-25y-4 lösen

$$21 y ^ { 2 } - 25 y - 4$$

Faktorisieren

$$\left(3y-4\right)\left(7y+1\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 21y^{2}+ay+by-4 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-25 ab=21\left(-4\right)=-84$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -84 ergeben.

$$1,-84 2,-42 3,-28 4,-21 6,-14 7,-12$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-84=-83 2-42=-40 3-28=-25 4-21=-17 6-14=-8 7-12=-5$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -25 ergibt.

$$a=-28 b=3$$

21y^{2}-25y-4 als \left(21y^{2}-28y\right)+\left(3y-4\right) umschreiben.

$$\left(21y^{2}-28y\right)+\left(3y-4\right)$$

Klammern Sie 7y in 21y^{2}-28y aus.

$$7y\left(3y-4\right)+3y-4$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 3y-4 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(3y-4\right)\left(7y+1\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$21y^{2}-25y-4=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$y=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{\left(-25\right)^{2}-4\times 21\left(-4\right)}}{2\times 21}$$

-25 zum Quadrat.

$$y=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-4\times 21\left(-4\right)}}{2\times 21}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 21.

$$y=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-84\left(-4\right)}}{2\times 21}$$

Multiplizieren Sie -84 mit -4.

$$y=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625+336}}{2\times 21}$$

Addieren Sie 625 zu 336.

$$y=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{961}}{2\times 21}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 961.

$$y=\frac{-\left(-25\right)±31}{2\times 21}$$

Das Gegenteil von -25 ist 25.

$$y=\frac{25±31}{2\times 21}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 21.

$$y=\frac{25±31}{42}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{25±31}{42}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 25 zu 31.

$$y=\frac{56}{42}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{56}{42} um den niedrigsten Term, indem Sie 14 extrahieren und aufheben.

$$y=\frac{4}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{25±31}{42}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 31 von 25.

$$y=-\frac{6}{42}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-6}{42} um den niedrigsten Term, indem Sie 6 extrahieren und aufheben.

$$y=-\frac{1}{7}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} \frac{4}{3} und für x_{2} -\frac{1}{7} ein.

$$21y^{2}-25y-4=21\left(y-\frac{4}{3}\right)\left(y-\left(-\frac{1}{7}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$21y^{2}-25y-4=21\left(y-\frac{4}{3}\right)\left(y+\frac{1}{7}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{4}{3} von y, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$21y^{2}-25y-4=21\times \frac{3y-4}{3}\left(y+\frac{1}{7}\right)$$

Addieren Sie \frac{1}{7} zu y, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$21y^{2}-25y-4=21\times \frac{3y-4}{3}\times \frac{7y+1}{7}$$

Multiplizieren Sie \frac{3y-4}{3} mit \frac{7y+1}{7}, indem Sie den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch bis auf die kleinsten möglichen Terme.

$$21y^{2}-25y-4=21\times \frac{\left(3y-4\right)\left(7y+1\right)}{3\times 7}$$

Multiplizieren Sie 3 mit 7.

$$21y^{2}-25y-4=21\times \frac{\left(3y-4\right)\left(7y+1\right)}{21}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 21 in 21 und 21 aufheben.

$$21y^{2}-25y-4=\left(3y-4\right)\left(7y+1\right)$$

Auswerten

$$\left(3y-4\right)\left(7y+1\right)$$