21x^2+11x-2 lösen

$$21 x ^ { 2 } + 11 x - 2$$

Faktorisieren

$$\left(7x-1\right)\left(3x+2\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 21x^{2}+ax+bx-2 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=11 ab=21\left(-2\right)=-42$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -42 ergeben.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 11 ergibt.

$$a=-3 b=14$$

21x^{2}+11x-2 als \left(21x^{2}-3x\right)+\left(14x-2\right) umschreiben.

$$\left(21x^{2}-3x\right)+\left(14x-2\right)$$

Klammern Sie 3x in der ersten und 2 in der zweiten Gruppe aus.

$$3x\left(7x-1\right)+2\left(7x-1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 7x-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(7x-1\right)\left(3x+2\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$21x^{2}+11x-2=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 21\left(-2\right)}}{2\times 21}$$

11 zum Quadrat.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 21\left(-2\right)}}{2\times 21}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 21.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-84\left(-2\right)}}{2\times 21}$$

Multiplizieren Sie -84 mit -2.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+168}}{2\times 21}$$

Addieren Sie 121 zu 168.

$$x=\frac{-11±\sqrt{289}}{2\times 21}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 289.

$$x=\frac{-11±17}{2\times 21}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 21.

$$x=\frac{-11±17}{42}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-11±17}{42}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -11 zu 17.

$$x=\frac{6}{42}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{6}{42} um den niedrigsten Term, indem Sie 6 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{1}{7}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-11±17}{42}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 17 von -11.

$$x=-\frac{28}{42}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-28}{42} um den niedrigsten Term, indem Sie 14 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} \frac{1}{7} und für x_{2} -\frac{2}{3} ein.

$$21x^{2}+11x-2=21\left(x-\frac{1}{7}\right)\left(x-\left(-\frac{2}{3}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$21x^{2}+11x-2=21\left(x-\frac{1}{7}\right)\left(x+\frac{2}{3}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{1}{7} von x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$21x^{2}+11x-2=21\times \frac{7x-1}{7}\left(x+\frac{2}{3}\right)$$

Addieren Sie \frac{2}{3} zu x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$21x^{2}+11x-2=21\times \frac{7x-1}{7}\times \frac{3x+2}{3}$$

Multiplizieren Sie \frac{7x-1}{7} mit \frac{3x+2}{3}, indem Sie den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch bis auf die kleinsten möglichen Terme.

$$21x^{2}+11x-2=21\times \frac{\left(7x-1\right)\left(3x+2\right)}{7\times 3}$$

Multiplizieren Sie 7 mit 3.

$$21x^{2}+11x-2=21\times \frac{\left(7x-1\right)\left(3x+2\right)}{21}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 21 in 21 und 21 aufheben.

$$21x^{2}+11x-2=\left(7x-1\right)\left(3x+2\right)$$

Auswerten

$$\left(7x-1\right)\left(3x+2\right)$$