20x+2x^2=150 lösen

$$20x+2 { x }^{ 2 } =150$$

Nach x auflösen

$$x=-15$$

$$x=5$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Subtrahieren Sie 150 von beiden Seiten.

$$20x+2x^{2}-150=0$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$10x+x^{2}-75=0$$

Ordnen Sie das Polynom neu an, um es in die Standardform zu bringen. Platzieren Sie die Terme in der Reihenfolge von der höchsten zur niedrigsten Potenz.

$$x^{2}+10x-75=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als x^{2}+ax+bx-75 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=10 ab=1\left(-75\right)=-75$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -75 ergeben.

$$-1,75 -3,25 -5,15$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+75=74 -3+25=22 -5+15=10$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 10 ergibt.

$$a=-5 b=15$$

x^{2}+10x-75 als \left(x^{2}-5x\right)+\left(15x-75\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(15x-75\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 15 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x-5\right)+15\left(x-5\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-5 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-5\right)\left(x+15\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-5=0 und x+15=0.

$$x=5 x=-15$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$2x^{2}+20x=150$$

150 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$2x^{2}+20x-150=150-150$$

Die Subtraktion von 150 von sich selbst ergibt 0.

$$2x^{2}+20x-150=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 2, b durch 20 und c durch -150, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\times 2\left(-150\right)}}{2\times 2}$$

20 zum Quadrat.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\times 2\left(-150\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 2.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-8\left(-150\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -8 mit -150.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+1200}}{2\times 2}$$

Addieren Sie 400 zu 1200.

$$x=\frac{-20±\sqrt{1600}}{2\times 2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 1600.

$$x=\frac{-20±40}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$x=\frac{-20±40}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-20±40}{4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -20 zu 40.

$$x=\frac{20}{4}$$

Dividieren Sie 20 durch 4.

$$x=5$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-20±40}{4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 40 von -20.

$$x=-\frac{60}{4}$$

Dividieren Sie -60 durch 4.

$$x=-15$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=5 x=-15$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$2x^{2}+20x=150$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$\frac{2x^{2}+20x}{2}=\frac{150}{2}$$

Division durch 2 macht die Multiplikation mit 2 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{20}{2}x=\frac{150}{2}$$

Dividieren Sie 20 durch 2.

$$x^{2}+10x=\frac{150}{2}$$

Dividieren Sie 150 durch 2.

$$x^{2}+10x=75$$

Dividieren Sie 10, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um 5 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von 5 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+10x+5^{2}=75+5^{2}$$

5 zum Quadrat.

$$x^{2}+10x+25=75+25$$

Addieren Sie 75 zu 25.

$$x^{2}+10x+25=100$$

Faktor x^{2}+10x+25. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+5\right)^{2}=100$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+5\right)^{2}}=\sqrt{100}$$

Vereinfachen.

$$x+5=10 x+5=-10$$

5 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=5 x=-15$$