20y^2+y-1 lösen

$$20 y ^ { 2 } + y - 1$$

Faktorisieren

$$\left(5y-1\right)\left(4y+1\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 20y^{2}+ay+by-1 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=1 ab=20\left(-1\right)=-20$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -20 ergeben.

$$-1,20 -2,10 -4,5$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+20=19 -2+10=8 -4+5=1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 1 ergibt.

$$a=-4 b=5$$

20y^{2}+y-1 als \left(20y^{2}-4y\right)+\left(5y-1\right) umschreiben.

$$\left(20y^{2}-4y\right)+\left(5y-1\right)$$

Klammern Sie 4y in 20y^{2}-4y aus.

$$4y\left(5y-1\right)+5y-1$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 5y-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(5y-1\right)\left(4y+1\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$20y^{2}+y-1=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

1 zum Quadrat.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 20.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-80\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Multiplizieren Sie -80 mit -1.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1+80}}{2\times 20}$$

Addieren Sie 1 zu 80.

$$y=\frac{-1±\sqrt{81}}{2\times 20}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 81.

$$y=\frac{-1±9}{2\times 20}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 20.

$$y=\frac{-1±9}{40}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{-1±9}{40}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -1 zu 9.

$$y=\frac{8}{40}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{8}{40} um den niedrigsten Term, indem Sie 8 extrahieren und aufheben.

$$y=\frac{1}{5}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{-1±9}{40}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 9 von -1.

$$y=-\frac{10}{40}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-10}{40} um den niedrigsten Term, indem Sie 10 extrahieren und aufheben.

$$y=-\frac{1}{4}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} \frac{1}{5} und für x_{2} -\frac{1}{4} ein.

$$20y^{2}+y-1=20\left(y-\frac{1}{5}\right)\left(y-\left(-\frac{1}{4}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$20y^{2}+y-1=20\left(y-\frac{1}{5}\right)\left(y+\frac{1}{4}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{1}{5} von y, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$20y^{2}+y-1=20\times \frac{5y-1}{5}\left(y+\frac{1}{4}\right)$$

Addieren Sie \frac{1}{4} zu y, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$20y^{2}+y-1=20\times \frac{5y-1}{5}\times \frac{4y+1}{4}$$

Multiplizieren Sie \frac{5y-1}{5} mit \frac{4y+1}{4}, indem Sie den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch bis auf die kleinsten möglichen Terme.

$$20y^{2}+y-1=20\times \frac{\left(5y-1\right)\left(4y+1\right)}{5\times 4}$$

Multiplizieren Sie 5 mit 4.

$$20y^{2}+y-1=20\times \frac{\left(5y-1\right)\left(4y+1\right)}{20}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 20 in 20 und 20 aufheben.

$$20y^{2}+y-1=\left(5y-1\right)\left(4y+1\right)$$

Auswerten

$$20y^{2}+y-1$$