20x^2-30x-20 lösen

$$20 x ^ { 2 } - 30 x - 20$$

Faktorisieren

$$10\left(x-2\right)\left(2x+1\right)$$

Lösungsschritte

Klammern Sie 10 aus.

$$10\left(2x^{2}-3x-2\right)$$

Betrachten Sie 2x^{2}-3x-2. Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 2x^{2}+ax+bx-2 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-3 ab=2\left(-2\right)=-4$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -4 ergeben.

$$1,-4 2,-2$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-4=-3 2-2=0$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -3 ergibt.

$$a=-4 b=1$$

2x^{2}-3x-2 als \left(2x^{2}-4x\right)+\left(x-2\right) umschreiben.

$$\left(2x^{2}-4x\right)+\left(x-2\right)$$

Klammern Sie 2x in 2x^{2}-4x aus.

$$2x\left(x-2\right)+x-2$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-2 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-2\right)\left(2x+1\right)$$

Schreiben Sie den vollständigen, faktorisierten Ausdruck um.

$$10\left(x-2\right)\left(2x+1\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$20x^{2}-30x-20=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 20\left(-20\right)}}{2\times 20}$$

-30 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 20\left(-20\right)}}{2\times 20}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 20.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-80\left(-20\right)}}{2\times 20}$$

Multiplizieren Sie -80 mit -20.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900+1600}}{2\times 20}$$

Addieren Sie 900 zu 1600.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{2500}}{2\times 20}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 2500.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±50}{2\times 20}$$

Das Gegenteil von -30 ist 30.

$$x=\frac{30±50}{2\times 20}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 20.

$$x=\frac{30±50}{40}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{30±50}{40}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 30 zu 50.

$$x=\frac{80}{40}$$

Dividieren Sie 80 durch 40.

$$x=2$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{30±50}{40}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 50 von 30.

$$x=-\frac{20}{40}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-20}{40} um den niedrigsten Term, indem Sie 20 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} 2 und für x_{2} -\frac{1}{2} ein.

$$20x^{2}-30x-20=20\left(x-2\right)\left(x-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$20x^{2}-30x-20=20\left(x-2\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)$$

Addieren Sie \frac{1}{2} zu x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$20x^{2}-30x-20=20\left(x-2\right)\times \frac{2x+1}{2}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 2 in 20 und 2 aufheben.

$$20x^{2}-30x-20=10\left(x-2\right)\left(2x+1\right)$$

Auswerten

$$10\left(x-2\right)\left(2x+1\right)$$