20x^2-28x-1=0 lösen

$$20 x ^ { 2 } - 28 x - 1 = 0$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{3 \sqrt{6} + 7}{10} \approx 1,434846923$$

$$x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}\approx -0,034846923$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$20x^{2}-28x-1=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 20, b durch -28 und c durch -1, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{\left(-28\right)^{2}-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

-28 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 20.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-80\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Multiplizieren Sie -80 mit -1.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784+80}}{2\times 20}$$

Addieren Sie 784 zu 80.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{864}}{2\times 20}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 864.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±12\sqrt{6}}{2\times 20}$$

Das Gegenteil von -28 ist 28.

$$x=\frac{28±12\sqrt{6}}{2\times 20}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 20.

$$x=\frac{28±12\sqrt{6}}{40}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{28±12\sqrt{6}}{40}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 28 zu 12\sqrt{6}.

$$x=\frac{12\sqrt{6}+28}{40}$$

Dividieren Sie 28+12\sqrt{6} durch 40.

$$x=\frac{3\sqrt{6}+7}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{28±12\sqrt{6}}{40}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 12\sqrt{6} von 28.

$$x=\frac{28-12\sqrt{6}}{40}$$

Dividieren Sie 28-12\sqrt{6} durch 40.

$$x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{3\sqrt{6}+7}{10} x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$20x^{2}-28x-1=0$$

Addieren Sie 1 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$20x^{2}-28x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Die Subtraktion von -1 von sich selbst ergibt 0.

$$20x^{2}-28x=-\left(-1\right)$$

Subtrahieren Sie -1 von 0.

$$20x^{2}-28x=1$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 20.

$$\frac{20x^{2}-28x}{20}=\frac{1}{20}$$

Division durch 20 macht die Multiplikation mit 20 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{28}{20}\right)x=\frac{1}{20}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-28}{20} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x=\frac{1}{20}$$

Dividieren Sie -\frac{7}{5}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{7}{10} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{7}{10} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{1}{20}+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{7}{10}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{1}{20}+\frac{49}{100}$$

Addieren Sie \frac{1}{20} zu \frac{49}{100}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{27}{50}$$

Faktor x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{27}{50}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{27}{50}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{7}{10}=\frac{3\sqrt{6}}{10} x-\frac{7}{10}=-\frac{3\sqrt{6}}{10}$$

Addieren Sie \frac{7}{10} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{3\sqrt{6}+7}{10} x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}$$