20t^2-17t=63 lösen

$$20 t ^ { 2 } - 17 t = 63$$

Nach t auflösen

$$t = -\frac{7}{5} = -1\frac{2}{5} = -1,4$$

$$t = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4} = 2,25$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Subtrahieren Sie 63 von beiden Seiten.

$$20t^{2}-17t-63=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 20t^{2}+at+bt-63 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-17 ab=20\left(-63\right)=-1260$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -1260 ergeben.

$$1,-1260 2,-630 3,-420 4,-315 5,-252 6,-210 7,-180 9,-140 10,-126 12,-105 14,-90 15,-84 18,-70 20,-63 21,-60 28,-45 30,-42 35,-36$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-1260=-1259 2-630=-628 3-420=-417 4-315=-311 5-252=-247 6-210=-204 7-180=-173 9-140=-131 10-126=-116 12-105=-93 14-90=-76 15-84=-69 18-70=-52 20-63=-43 21-60=-39 28-45=-17 30-42=-12 35-36=-1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -17 ergibt.

$$a=-45 b=28$$

20t^{2}-17t-63 als \left(20t^{2}-45t\right)+\left(28t-63\right) umschreiben.

$$\left(20t^{2}-45t\right)+\left(28t-63\right)$$

Klammern Sie 5t in der ersten und 7 in der zweiten Gruppe aus.

$$5t\left(4t-9\right)+7\left(4t-9\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 4t-9 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(4t-9\right)\left(5t+7\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 4t-9=0 und 5t+7=0.

$$t=\frac{9}{4} t=-\frac{7}{5}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$20t^{2}-17t=63$$

63 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$20t^{2}-17t-63=63-63$$

Die Subtraktion von 63 von sich selbst ergibt 0.

$$20t^{2}-17t-63=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 20, b durch -17 und c durch -63, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{\left(-17\right)^{2}-4\times 20\left(-63\right)}}{2\times 20}$$

-17 zum Quadrat.

$$t=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289-4\times 20\left(-63\right)}}{2\times 20}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 20.

$$t=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289-80\left(-63\right)}}{2\times 20}$$

Multiplizieren Sie -80 mit -63.

$$t=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289+5040}}{2\times 20}$$

Addieren Sie 289 zu 5040.

$$t=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{5329}}{2\times 20}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 5329.

$$t=\frac{-\left(-17\right)±73}{2\times 20}$$

Das Gegenteil von -17 ist 17.

$$t=\frac{17±73}{2\times 20}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 20.

$$t=\frac{17±73}{40}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung t=\frac{17±73}{40}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 17 zu 73.

$$t=\frac{90}{40}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{90}{40} um den niedrigsten Term, indem Sie 10 extrahieren und aufheben.

$$t=\frac{9}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung t=\frac{17±73}{40}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 73 von 17.

$$t=-\frac{56}{40}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-56}{40} um den niedrigsten Term, indem Sie 8 extrahieren und aufheben.

$$t=-\frac{7}{5}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$t=\frac{9}{4} t=-\frac{7}{5}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$20t^{2}-17t=63$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 20.

$$\frac{20t^{2}-17t}{20}=\frac{63}{20}$$

Division durch 20 macht die Multiplikation mit 20 rückgängig.

$$t^{2}-\frac{17}{20}t=\frac{63}{20}$$

Dividieren Sie -\frac{17}{20}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{17}{40} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{17}{40} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$t^{2}-\frac{17}{20}t+\left(-\frac{17}{40}\right)^{2}=\frac{63}{20}+\left(-\frac{17}{40}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{17}{40}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$t^{2}-\frac{17}{20}t+\frac{289}{1600}=\frac{63}{20}+\frac{289}{1600}$$

Addieren Sie \frac{63}{20} zu \frac{289}{1600}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$t^{2}-\frac{17}{20}t+\frac{289}{1600}=\frac{5329}{1600}$$

Faktor t^{2}-\frac{17}{20}t+\frac{289}{1600}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(t-\frac{17}{40}\right)^{2}=\frac{5329}{1600}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(t-\frac{17}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5329}{1600}}$$

Vereinfachen.

$$t-\frac{17}{40}=\frac{73}{40} t-\frac{17}{40}=-\frac{73}{40}$$

Addieren Sie \frac{17}{40} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$t=\frac{9}{4} t=-\frac{7}{5}$$