20p^2+33p+16=6 lösen

$$20 p ^ { 2 } + 33 p + 16 = 6$$

Nach p auflösen

$$p = -\frac{5}{4} = -1\frac{1}{4} = -1,25$$

$$p=-\frac{2}{5}=-0,4$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Subtrahieren Sie 6 von beiden Seiten.

$$20p^{2}+33p+16-6=0$$

Subtrahieren Sie 6 von 16, um 10 zu erhalten.

$$20p^{2}+33p+10=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 20p^{2}+ap+bp+10 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=33 ab=20\times 10=200$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 200 ergeben.

$$1,200 2,100 4,50 5,40 8,25 10,20$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+200=201 2+100=102 4+50=54 5+40=45 8+25=33 10+20=30$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 33 ergibt.

$$a=8 b=25$$

20p^{2}+33p+10 als \left(20p^{2}+8p\right)+\left(25p+10\right) umschreiben.

$$\left(20p^{2}+8p\right)+\left(25p+10\right)$$

Klammern Sie 4p in der ersten und 5 in der zweiten Gruppe aus.

$$4p\left(5p+2\right)+5\left(5p+2\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 5p+2 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(5p+2\right)\left(4p+5\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 5p+2=0 und 4p+5=0.

$$p=-\frac{2}{5} p=-\frac{5}{4}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$20p^{2}+33p+16=6$$

6 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$20p^{2}+33p+16-6=6-6$$

Die Subtraktion von 6 von sich selbst ergibt 0.

$$20p^{2}+33p+16-6=0$$

Subtrahieren Sie 6 von 16.

$$20p^{2}+33p+10=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 20, b durch 33 und c durch 10, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-33±\sqrt{33^{2}-4\times 20\times 10}}{2\times 20}$$

33 zum Quadrat.

$$p=\frac{-33±\sqrt{1089-4\times 20\times 10}}{2\times 20}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 20.

$$p=\frac{-33±\sqrt{1089-80\times 10}}{2\times 20}$$

Multiplizieren Sie -80 mit 10.

$$p=\frac{-33±\sqrt{1089-800}}{2\times 20}$$

Addieren Sie 1089 zu -800.

$$p=\frac{-33±\sqrt{289}}{2\times 20}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 289.

$$p=\frac{-33±17}{2\times 20}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 20.

$$p=\frac{-33±17}{40}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung p=\frac{-33±17}{40}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -33 zu 17.

$$p=-\frac{16}{40}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-16}{40} um den niedrigsten Term, indem Sie 8 extrahieren und aufheben.

$$p=-\frac{2}{5}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung p=\frac{-33±17}{40}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 17 von -33.

$$p=-\frac{50}{40}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-50}{40} um den niedrigsten Term, indem Sie 10 extrahieren und aufheben.

$$p=-\frac{5}{4}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$p=-\frac{2}{5} p=-\frac{5}{4}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$20p^{2}+33p+16=6$$

16 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$20p^{2}+33p+16-16=6-16$$

Die Subtraktion von 16 von sich selbst ergibt 0.

$$20p^{2}+33p=6-16$$

Subtrahieren Sie 16 von 6.

$$20p^{2}+33p=-10$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 20.

$$\frac{20p^{2}+33p}{20}=-\frac{10}{20}$$

Division durch 20 macht die Multiplikation mit 20 rückgängig.

$$p^{2}+\frac{33}{20}p=-\frac{10}{20}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-10}{20} um den niedrigsten Term, indem Sie 10 extrahieren und aufheben.

$$p^{2}+\frac{33}{20}p=-\frac{1}{2}$$

Dividieren Sie \frac{33}{20}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{33}{40} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{33}{40} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$p^{2}+\frac{33}{20}p+\left(\frac{33}{40}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(\frac{33}{40}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{33}{40}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$p^{2}+\frac{33}{20}p+\frac{1089}{1600}=-\frac{1}{2}+\frac{1089}{1600}$$

Addieren Sie -\frac{1}{2} zu \frac{1089}{1600}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$p^{2}+\frac{33}{20}p+\frac{1089}{1600}=\frac{289}{1600}$$

Faktor p^{2}+\frac{33}{20}p+\frac{1089}{1600}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(p+\frac{33}{40}\right)^{2}=\frac{289}{1600}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(p+\frac{33}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{1600}}$$

Vereinfachen.

$$p+\frac{33}{40}=\frac{17}{40} p+\frac{33}{40}=-\frac{17}{40}$$

\frac{33}{40} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$p=-\frac{2}{5} p=-\frac{5}{4}$$