20x^2-x-1=0 lösen

$$20 { x }^{ 2 } -x-1=0$$

Nach x auflösen

$$x=-\frac{1}{5}=-0,2$$

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 20x^{2}+ax+bx-1 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-1 ab=20\left(-1\right)=-20$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -20 ergeben.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -1 ergibt.

$$a=-5 b=4$$

20x^{2}-x-1 als \left(20x^{2}-5x\right)+\left(4x-1\right) umschreiben.

$$\left(20x^{2}-5x\right)+\left(4x-1\right)$$

Klammern Sie 5x in 20x^{2}-5x aus.

$$5x\left(4x-1\right)+4x-1$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 4x-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(4x-1\right)\left(5x+1\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 4x-1=0 und 5x+1=0.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$20x^{2}-x-1=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 20, b durch -1 und c durch -1, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 20.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-80\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Multiplizieren Sie -80 mit -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+80}}{2\times 20}$$

Addieren Sie 1 zu 80.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{81}}{2\times 20}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 81.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±9}{2\times 20}$$

Das Gegenteil von -1 ist 1.

$$x=\frac{1±9}{2\times 20}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 20.

$$x=\frac{1±9}{40}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{1±9}{40}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 1 zu 9.

$$x=\frac{10}{40}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{10}{40} um den niedrigsten Term, indem Sie 10 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{1}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{1±9}{40}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 9 von 1.

$$x=-\frac{8}{40}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-8}{40} um den niedrigsten Term, indem Sie 8 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$20x^{2}-x-1=0$$

Addieren Sie 1 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$20x^{2}-x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Die Subtraktion von -1 von sich selbst ergibt 0.

$$20x^{2}-x=-\left(-1\right)$$

Subtrahieren Sie -1 von 0.

$$20x^{2}-x=1$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 20.

$$\frac{20x^{2}-x}{20}=\frac{1}{20}$$

Division durch 20 macht die Multiplikation mit 20 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x=\frac{1}{20}$$

Dividieren Sie -\frac{1}{20}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{1}{40} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{1}{40} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\left(-\frac{1}{40}\right)^{2}=\frac{1}{20}+\left(-\frac{1}{40}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{1}{40}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}=\frac{1}{20}+\frac{1}{1600}$$

Addieren Sie \frac{1}{20} zu \frac{1}{1600}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}=\frac{81}{1600}$$

Faktor x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{1}{40}\right)^{2}=\frac{81}{1600}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{1600}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{1}{40}=\frac{9}{40} x-\frac{1}{40}=-\frac{9}{40}$$

Addieren Sie \frac{1}{40} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$