20x^2+38x+12 lösen

$$20 { x }^{ 2 } +38x+12$$

Faktorisieren

$$2\left(2x+3\right)\left(5x+2\right)$$

Lösungsschritte

Klammern Sie 2 aus.

$$2\left(10x^{2}+19x+6\right)$$

Betrachten Sie 10x^{2}+19x+6. Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 10x^{2}+ax+bx+6 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=19 ab=10\times 6=60$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 60 ergeben.

$$1,60 2,30 3,20 4,15 5,12 6,10$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+60=61 2+30=32 3+20=23 4+15=19 5+12=17 6+10=16$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 19 ergibt.

$$a=4 b=15$$

10x^{2}+19x+6 als \left(10x^{2}+4x\right)+\left(15x+6\right) umschreiben.

$$\left(10x^{2}+4x\right)+\left(15x+6\right)$$

Klammern Sie 2x in der ersten und 3 in der zweiten Gruppe aus.

$$2x\left(5x+2\right)+3\left(5x+2\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 5x+2 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(5x+2\right)\left(2x+3\right)$$

Schreiben Sie den vollständigen, faktorisierten Ausdruck um.

$$2\left(5x+2\right)\left(2x+3\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$20x^{2}+38x+12=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-38±\sqrt{38^{2}-4\times 20\times 12}}{2\times 20}$$

38 zum Quadrat.

$$x=\frac{-38±\sqrt{1444-4\times 20\times 12}}{2\times 20}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 20.

$$x=\frac{-38±\sqrt{1444-80\times 12}}{2\times 20}$$

Multiplizieren Sie -80 mit 12.

$$x=\frac{-38±\sqrt{1444-960}}{2\times 20}$$

Addieren Sie 1444 zu -960.

$$x=\frac{-38±\sqrt{484}}{2\times 20}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 484.

$$x=\frac{-38±22}{2\times 20}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 20.

$$x=\frac{-38±22}{40}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-38±22}{40}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -38 zu 22.

$$x=-\frac{16}{40}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-16}{40} um den niedrigsten Term, indem Sie 8 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-38±22}{40}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 22 von -38.

$$x=-\frac{60}{40}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-60}{40} um den niedrigsten Term, indem Sie 20 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} -\frac{2}{5} und für x_{2} -\frac{3}{2} ein.

$$20x^{2}+38x+12=20\left(x-\left(-\frac{2}{5}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{3}{2}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$20x^{2}+38x+12=20\left(x+\frac{2}{5}\right)\left(x+\frac{3}{2}\right)$$

Addieren Sie \frac{2}{5} zu x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$20x^{2}+38x+12=20\times \frac{5x+2}{5}\left(x+\frac{3}{2}\right)$$

Addieren Sie \frac{3}{2} zu x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$20x^{2}+38x+12=20\times \frac{5x+2}{5}\times \frac{2x+3}{2}$$

Multiplizieren Sie \frac{5x+2}{5} mit \frac{2x+3}{2}, indem Sie den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch bis auf die kleinsten möglichen Terme.

$$20x^{2}+38x+12=20\times \frac{\left(5x+2\right)\left(2x+3\right)}{5\times 2}$$

Multiplizieren Sie 5 mit 2.

$$20x^{2}+38x+12=20\times \frac{\left(5x+2\right)\left(2x+3\right)}{10}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 10 in 20 und 10 aufheben.

$$20x^{2}+38x+12=2\left(5x+2\right)\left(2x+3\right)$$

Auswerten

$$20x^{2}+38x+12$$