25x^2+250x-15000=0 lösen

$$25 { x }^{ 2 } +250x-15000=0$$

Nach x auflösen

$$x=-30$$

$$x=20$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Dividieren Sie beide Seiten durch 25.

$$x^{2}+10x-600=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als x^{2}+ax+bx-600 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=10 ab=1\left(-600\right)=-600$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -600 ergeben.

$$-1,600 -2,300 -3,200 -4,150 -5,120 -6,100 -8,75 -10,60 -12,50 -15,40 -20,30 -24,25$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+600=599 -2+300=298 -3+200=197 -4+150=146 -5+120=115 -6+100=94 -8+75=67 -10+60=50 -12+50=38 -15+40=25 -20+30=10 -24+25=1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 10 ergibt.

$$a=-20 b=30$$

x^{2}+10x-600 als \left(x^{2}-20x\right)+\left(30x-600\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}-20x\right)+\left(30x-600\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 30 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x-20\right)+30\left(x-20\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-20 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-20\right)\left(x+30\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-20=0 und x+30=0.

$$x=20 x=-30$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$25x^{2}+250x-15000=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 25, b durch 250 und c durch -15000, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-250±\sqrt{250^{2}-4\times 25\left(-15000\right)}}{2\times 25}$$

250 zum Quadrat.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500-4\times 25\left(-15000\right)}}{2\times 25}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 25.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500-100\left(-15000\right)}}{2\times 25}$$

Multiplizieren Sie -100 mit -15000.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500+1500000}}{2\times 25}$$

Addieren Sie 62500 zu 1500000.

$$x=\frac{-250±\sqrt{1562500}}{2\times 25}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 1562500.

$$x=\frac{-250±1250}{2\times 25}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 25.

$$x=\frac{-250±1250}{50}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-250±1250}{50}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -250 zu 1250.

$$x=\frac{1000}{50}$$

Dividieren Sie 1000 durch 50.

$$x=20$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-250±1250}{50}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 1250 von -250.

$$x=-\frac{1500}{50}$$

Dividieren Sie -1500 durch 50.

$$x=-30$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=20 x=-30$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$25x^{2}+250x-15000=0$$

Addieren Sie 15000 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$25x^{2}+250x-15000-\left(-15000\right)=-\left(-15000\right)$$

Die Subtraktion von -15000 von sich selbst ergibt 0.

$$25x^{2}+250x=-\left(-15000\right)$$

Subtrahieren Sie -15000 von 0.

$$25x^{2}+250x=15000$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 25.

$$\frac{25x^{2}+250x}{25}=\frac{15000}{25}$$

Division durch 25 macht die Multiplikation mit 25 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{250}{25}x=\frac{15000}{25}$$

Dividieren Sie 250 durch 25.

$$x^{2}+10x=\frac{15000}{25}$$

Dividieren Sie 15000 durch 25.

$$x^{2}+10x=600$$

Dividieren Sie 10, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um 5 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von 5 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+10x+5^{2}=600+5^{2}$$

5 zum Quadrat.

$$x^{2}+10x+25=600+25$$

Addieren Sie 600 zu 25.

$$x^{2}+10x+25=625$$

Faktor x^{2}+10x+25. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(x+5\right)^{2}=625$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+5\right)^{2}}=\sqrt{625}$$

Vereinfachen.

$$x+5=25 x+5=-25$$

5 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=20 x=-30$$