2z^2-2z+5=0 lösen

$$2 z ^ { 2 } - 2 z + 5 = 0$$

Nach z auflösen

$$z=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i=0,5+1,5i$$

$$z=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i=0,5-1,5i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$2z^{2}-2z+5=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 2, b durch -2 und c durch 5, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

-2 zum Quadrat.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 2.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\times 5}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -8 mit 5.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-40}}{2\times 2}$$

Addieren Sie 4 zu -40.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-36}}{2\times 2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -36.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±6i}{2\times 2}$$

Das Gegenteil von -2 ist 2.

$$z=\frac{2±6i}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$z=\frac{2±6i}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung z=\frac{2±6i}{4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 2 zu 6i.

$$z=\frac{2+6i}{4}$$

Dividieren Sie 2+6i durch 4.

$$z=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung z=\frac{2±6i}{4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 6i von 2.

$$z=\frac{2-6i}{4}$$

Dividieren Sie 2-6i durch 4.

$$z=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$z=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i z=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$2z^{2}-2z+5=0$$

5 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$2z^{2}-2z+5-5=-5$$

Die Subtraktion von 5 von sich selbst ergibt 0.

$$2z^{2}-2z=-5$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$\frac{2z^{2}-2z}{2}=-\frac{5}{2}$$

Division durch 2 macht die Multiplikation mit 2 rückgängig.

$$z^{2}+\left(-\frac{2}{2}\right)z=-\frac{5}{2}$$

Dividieren Sie -2 durch 2.

$$z^{2}-z=-\frac{5}{2}$$

Dividieren Sie -1, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{1}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{1}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$z^{2}-z+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{1}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$z^{2}-z+\frac{1}{4}=-\frac{5}{2}+\frac{1}{4}$$

Addieren Sie -\frac{5}{2} zu \frac{1}{4}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$z^{2}-z+\frac{1}{4}=-\frac{9}{4}$$

Faktor z^{2}-z+\frac{1}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(z-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(z-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{9}{4}}$$

Vereinfachen.

$$z-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}i z-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}i$$

Addieren Sie \frac{1}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$z=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i z=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i$$