2z^2+2z-60 lösen

$$2 z ^ { 2 } + 2 z - 60$$

Faktorisieren

$$2\left(z-5\right)\left(z+6\right)$$

Lösungsschritte

Klammern Sie 2 aus.

$$2\left(z^{2}+z-30\right)$$

Betrachten Sie z^{2}+z-30. Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als z^{2}+az+bz-30 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=1 ab=1\left(-30\right)=-30$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -30 ergeben.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 1 ergibt.

$$a=-5 b=6$$

z^{2}+z-30 als \left(z^{2}-5z\right)+\left(6z-30\right) umschreiben.

$$\left(z^{2}-5z\right)+\left(6z-30\right)$$

Klammern Sie z in der ersten und 6 in der zweiten Gruppe aus.

$$z\left(z-5\right)+6\left(z-5\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term z-5 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(z-5\right)\left(z+6\right)$$

Schreiben Sie den vollständigen, faktorisierten Ausdruck um.

$$2\left(z-5\right)\left(z+6\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$2z^{2}+2z-60=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$z=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 2\left(-60\right)}}{2\times 2}$$

2 zum Quadrat.

$$z=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 2\left(-60\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 2.

$$z=\frac{-2±\sqrt{4-8\left(-60\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -8 mit -60.

$$z=\frac{-2±\sqrt{4+480}}{2\times 2}$$

Addieren Sie 4 zu 480.

$$z=\frac{-2±\sqrt{484}}{2\times 2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 484.

$$z=\frac{-2±22}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$z=\frac{-2±22}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung z=\frac{-2±22}{4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -2 zu 22.

$$z=\frac{20}{4}$$

Dividieren Sie 20 durch 4.

$$z=5$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung z=\frac{-2±22}{4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 22 von -2.

$$z=-\frac{24}{4}$$

Dividieren Sie -24 durch 4.

$$z=-6$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} 5 und für x_{2} -6 ein.

$$2z^{2}+2z-60=2\left(z-5\right)\left(z-\left(-6\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$2z^{2}+2z-60=2\left(z-5\right)\left(z+6\right)$$

Auswerten

$$2\left(z-5\right)\left(z+6\right)$$