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2x^{2}-6x+5\left(x-3\right)=0
Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 2x mit x-3 zu multiplizieren.
2x^{2}-6x+5x-15=0
Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 5 mit x-3 zu multiplizieren.
2x^{2}-x-15=0
Kombinieren Sie -6x und 5x, um -x zu erhalten.
a+b=-1 ab=2\left(-15\right)=-30
Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 2x^{2}+ax+bx-15 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.
1,-30 2,-15 3,-10 5,-6
Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -30 ergeben.
1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1
Die Summe für jedes Paar berechnen.
a=-6 b=5
Die Lösung ist das Paar, das die Summe -1 ergibt.
\left(2x^{2}-6x\right)+\left(5x-15\right)
2x^{2}-x-15 als \left(2x^{2}-6x\right)+\left(5x-15\right) umschreiben.
2x\left(x-3\right)+5\left(x-3\right)
Klammern Sie 2x in der ersten und 5 in der zweiten Gruppe aus.
\left(x-3\right)\left(2x+5\right)
Klammern Sie den gemeinsamen Term x-3 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.
x=3 x=-\frac{5}{2}
Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-3=0 und 2x+5=0.
2x^{2}-6x+5\left(x-3\right)=0
Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 2x mit x-3 zu multiplizieren.
2x^{2}-6x+5x-15=0
Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 5 mit x-3 zu multiplizieren.
2x^{2}-x-15=0
Kombinieren Sie -6x und 5x, um -x zu erhalten.
x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 2\left(-15\right)}}{2\times 2}
Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 2, b durch -1 und c durch -15, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-8\left(-15\right)}}{2\times 2}
Multiplizieren Sie -4 mit 2.
x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+120}}{2\times 2}
Multiplizieren Sie -8 mit -15.
x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{121}}{2\times 2}
Addieren Sie 1 zu 120.
x=\frac{-\left(-1\right)±11}{2\times 2}
Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 121.
x=\frac{1±11}{2\times 2}
Das Gegenteil von -1 ist 1.
x=\frac{1±11}{4}
Multiplizieren Sie 2 mit 2.
x=\frac{12}{4}
Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{1±11}{4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 1 zu 11.
x=3
Dividieren Sie 12 durch 4.
x=-\frac{10}{4}
Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{1±11}{4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 11 von 1.
x=-\frac{5}{2}
Verringern Sie den Bruch \frac{-10}{4} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.
x=3 x=-\frac{5}{2}
Die Gleichung ist jetzt gelöst.
2x^{2}-6x+5\left(x-3\right)=0
Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 2x mit x-3 zu multiplizieren.
2x^{2}-6x+5x-15=0
Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 5 mit x-3 zu multiplizieren.
2x^{2}-x-15=0
Kombinieren Sie -6x und 5x, um -x zu erhalten.
2x^{2}-x=15
Auf beiden Seiten 15 addieren. Eine beliebige Zahl plus null ergibt sich selbst.
\frac{2x^{2}-x}{2}=\frac{15}{2}
Dividieren Sie beide Seiten durch 2.
x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{15}{2}
Division durch 2 macht die Multiplikation mit 2 rückgängig.
x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{15}{2}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}
Dividieren Sie -\frac{1}{2}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{1}{4} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{1}{4} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.
x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{15}{2}+\frac{1}{16}
Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{1}{4}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.
x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{121}{16}
Addieren Sie \frac{15}{2} zu \frac{1}{16}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.
\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{121}{16}
Faktor x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.
\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{16}}
Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.
x-\frac{1}{4}=\frac{11}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{11}{4}
Vereinfachen.
x=3 x=-\frac{5}{2}
Addieren Sie \frac{1}{4} zu beiden Seiten der Gleichung.