2x^2-x-36=0 lösen

$$2 x ^ { 2 } - x - 36 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=-4$$

$$x = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} = 4.5$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 2x^{2}+ax+bx-36 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-1 ab=2\left(-36\right)=-72$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -72 ergeben.

$$1,-72 2,-36 3,-24 4,-18 6,-12 8,-9$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-72=-71 2-36=-34 3-24=-21 4-18=-14 6-12=-6 8-9=-1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -1 ergibt.

$$a=-9 b=8$$

2x^{2}-x-36 als \left(2x^{2}-9x\right)+\left(8x-36\right) umschreiben.

$$\left(2x^{2}-9x\right)+\left(8x-36\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 4 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(2x-9\right)+4\left(2x-9\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 2x-9 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(2x-9\right)\left(x+4\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 2x-9=0 und x+4=0.

$$x=\frac{9}{2} x=-4$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$2x^{2}-x-36=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 2, b durch -1 und c durch -36, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 2\left(-36\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 2.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-8\left(-36\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -8 mit -36.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+288}}{2\times 2}$$

Addieren Sie 1 zu 288.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{289}}{2\times 2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 289.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±17}{2\times 2}$$

Das Gegenteil von -1 ist 1.

$$x=\frac{1±17}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$x=\frac{1±17}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{1±17}{4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 1 zu 17.

$$x=\frac{18}{4}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{18}{4} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{9}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{1±17}{4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 17 von 1.

$$x=-\frac{16}{4}$$

Dividieren Sie -16 durch 4.

$$x=-4$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{9}{2} x=-4$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$2x^{2}-x-36=0$$

Addieren Sie 36 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$2x^{2}-x-36-\left(-36\right)=-\left(-36\right)$$

Die Subtraktion von -36 von sich selbst ergibt 0.

$$2x^{2}-x=-\left(-36\right)$$

Subtrahieren Sie -36 von 0.

$$2x^{2}-x=36$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$\frac{2x^{2}-x}{2}=\frac{36}{2}$$

Division durch 2 macht die Multiplikation mit 2 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{36}{2}$$

Dividieren Sie 36 durch 2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=18$$

Dividieren Sie -\frac{1}{2}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{1}{4} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{1}{4} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=18+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{1}{4}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=18+\frac{1}{16}$$

Addieren Sie 18 zu \frac{1}{16}.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{289}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{289}{16}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{16}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{17}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{17}{4}$$

Addieren Sie \frac{1}{4} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{9}{2} x=-4$$