2x^2-x-1<0 lösen

$$2 x ^ { 2 } - x - 1 < 0$$

Für x lösen

$$x\in \left(-\frac{1}{2},1\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Um die Ungleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite. Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$2x^{2}-x-1=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 2, b durch -1 und c durch -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Berechnungen ausführen.

$$x=\frac{1±3}{4}$$

Lösen Sie die Gleichung x=\frac{1±3}{4}, wenn ± Plus ist und wenn ± minus ist.

$$x=1 x=-\frac{1}{2}$$

Die Ungleichung umschreiben, indem Sie die erhaltenen Lösungen verwenden.

$$2\left(x-1\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)<0$$

Damit das Produkt negativ ist, müssen x-1 und x+\frac{1}{2} gegensätzliche Vorzeichen haben. Erwägen Sie den Fall, wenn x-1 positiv und x+\frac{1}{2} negativ ist.

$$x-1>0 x+\frac{1}{2}<0$$

Dies ist falsch für alle x.

$$x\in \emptyset$$

Erwägen Sie den Fall, wenn x+\frac{1}{2} positiv und x-1 negativ ist.

$$x+\frac{1}{2}>0 x-1<0$$

Die Lösung, die beide Ungleichungen erfüllt, lautet x\in \left(-\frac{1}{2},1\right).

$$x\in \left(-\frac{1}{2},1\right)$$

Die endgültige Lösung ist die Vereinigung der erhaltenen Lösungen.

$$x\in \left(-\frac{1}{2},1\right)$$