2x^2-9x-81 lösen

$$2 x ^ { 2 } - 9 x - 81$$

Faktorisieren

$$\left(x-9\right)\left(2x+9\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 2x^{2}+ax+bx-81 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-9 ab=2\left(-81\right)=-162$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -162 ergeben.

$$1,-162 2,-81 3,-54 6,-27 9,-18$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-162=-161 2-81=-79 3-54=-51 6-27=-21 9-18=-9$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -9 ergibt.

$$a=-18 b=9$$

2x^{2}-9x-81 als \left(2x^{2}-18x\right)+\left(9x-81\right) umschreiben.

$$\left(2x^{2}-18x\right)+\left(9x-81\right)$$

Klammern Sie 2x in der ersten und 9 in der zweiten Gruppe aus.

$$2x\left(x-9\right)+9\left(x-9\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-9 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-9\right)\left(2x+9\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$2x^{2}-9x-81=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 2\left(-81\right)}}{2\times 2}$$

-9 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 2\left(-81\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 2.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-8\left(-81\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -8 mit -81.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+648}}{2\times 2}$$

Addieren Sie 81 zu 648.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{729}}{2\times 2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 729.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±27}{2\times 2}$$

Das Gegenteil von -9 ist 9.

$$x=\frac{9±27}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$x=\frac{9±27}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{9±27}{4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 9 zu 27.

$$x=\frac{36}{4}$$

Dividieren Sie 36 durch 4.

$$x=9$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{9±27}{4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 27 von 9.

$$x=-\frac{18}{4}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-18}{4} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{9}{2}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} 9 und für x_{2} -\frac{9}{2} ein.

$$2x^{2}-9x-81=2\left(x-9\right)\left(x-\left(-\frac{9}{2}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$2x^{2}-9x-81=2\left(x-9\right)\left(x+\frac{9}{2}\right)$$

Addieren Sie \frac{9}{2} zu x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$2x^{2}-9x-81=2\left(x-9\right)\times \frac{2x+9}{2}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 2 in 2 und 2 aufheben.

$$2x^{2}-9x-81=\left(x-9\right)\left(2x+9\right)$$

Auswerten

$$\left(x-9\right)\left(2x+9\right)$$