2x^2-9x+5=0 lösen

$$2 x ^ { 2 } - 9 x + 5 = 0$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{\sqrt{41} + 9}{4} \approx 3,850781059$$

$$x=\frac{9-\sqrt{41}}{4}\approx 0,649218941$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$2x^{2}-9x+5=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 2, b durch -9 und c durch 5, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

-9 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 2.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-8\times 5}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -8 mit 5.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-40}}{2\times 2}$$

Addieren Sie 81 zu -40.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{41}}{2\times 2}$$

Das Gegenteil von -9 ist 9.

$$x=\frac{9±\sqrt{41}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$x=\frac{9±\sqrt{41}}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{9±\sqrt{41}}{4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 9 zu \sqrt{41}.

$$x=\frac{\sqrt{41}+9}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{9±\sqrt{41}}{4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie \sqrt{41} von 9.

$$x=\frac{9-\sqrt{41}}{4}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{41}+9}{4} x=\frac{9-\sqrt{41}}{4}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$2x^{2}-9x+5=0$$

5 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$2x^{2}-9x+5-5=-5$$

Die Subtraktion von 5 von sich selbst ergibt 0.

$$2x^{2}-9x=-5$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$\frac{2x^{2}-9x}{2}=-\frac{5}{2}$$

Division durch 2 macht die Multiplikation mit 2 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x=-\frac{5}{2}$$

Dividieren Sie -\frac{9}{2}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{9}{4} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{9}{4} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{9}{4}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=-\frac{5}{2}+\frac{81}{16}$$

Addieren Sie -\frac{5}{2} zu \frac{81}{16}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{41}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{41}{16}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{41}{16}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{9}{4}=\frac{\sqrt{41}}{4} x-\frac{9}{4}=-\frac{\sqrt{41}}{4}$$

Addieren Sie \frac{9}{4} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{\sqrt{41}+9}{4} x=\frac{9-\sqrt{41}}{4}$$