2x^2-9x+4=0 lösen

$$2 x ^ { 2 } - 9 x + 4 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

$$x=4$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 2x^{2}+ax+bx+4 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-9 ab=2\times 4=8$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 8 ergeben.

$$-1,-8 -2,-4$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-8=-9 -2-4=-6$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -9 ergibt.

$$a=-8 b=-1$$

2x^{2}-9x+4 als \left(2x^{2}-8x\right)+\left(-x+4\right) umschreiben.

$$\left(2x^{2}-8x\right)+\left(-x+4\right)$$

Klammern Sie 2x in der ersten und -1 in der zweiten Gruppe aus.

$$2x\left(x-4\right)-\left(x-4\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-4 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-4\right)\left(2x-1\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-4=0 und 2x-1=0.

$$x=4 x=\frac{1}{2}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$2x^{2}-9x+4=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 2, b durch -9 und c durch 4, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 2\times 4}}{2\times 2}$$

-9 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 2\times 4}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 2.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-8\times 4}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -8 mit 4.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-32}}{2\times 2}$$

Addieren Sie 81 zu -32.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{49}}{2\times 2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 49.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±7}{2\times 2}$$

Das Gegenteil von -9 ist 9.

$$x=\frac{9±7}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$x=\frac{9±7}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{9±7}{4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 9 zu 7.

$$x=\frac{16}{4}$$

Dividieren Sie 16 durch 4.

$$x=4$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{9±7}{4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 7 von 9.

$$x=\frac{2}{4}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{2}{4} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{1}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=4 x=\frac{1}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$2x^{2}-9x+4=0$$

4 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$2x^{2}-9x+4-4=-4$$

Die Subtraktion von 4 von sich selbst ergibt 0.

$$2x^{2}-9x=-4$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$\frac{2x^{2}-9x}{2}=-\frac{4}{2}$$

Division durch 2 macht die Multiplikation mit 2 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x=-\frac{4}{2}$$

Dividieren Sie -4 durch 2.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x=-2$$

Dividieren Sie -\frac{9}{2}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{9}{4} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{9}{4} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}=-2+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{9}{4}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=-2+\frac{81}{16}$$

Addieren Sie -2 zu \frac{81}{16}.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{49}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{49}{16}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{16}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{9}{4}=\frac{7}{4} x-\frac{9}{4}=-\frac{7}{4}$$

Addieren Sie \frac{9}{4} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=4 x=\frac{1}{2}$$