2x^2-8x-24=0 lösen

$$2 x ^ { 2 } - 8 x - 24 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=-2$$

$$x=6$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$x^{2}-4x-12=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als x^{2}+ax+bx-12 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-4 ab=1\left(-12\right)=-12$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -12 ergeben.

$$1,-12 2,-6 3,-4$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-12=-11 2-6=-4 3-4=-1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -4 ergibt.

$$a=-6 b=2$$

x^{2}-4x-12 als \left(x^{2}-6x\right)+\left(2x-12\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(2x-12\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 2 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x-6\right)+2\left(x-6\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-6 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-6\right)\left(x+2\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-6=0 und x+2=0.

$$x=6 x=-2$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$2x^{2}-8x-24=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 2, b durch -8 und c durch -24, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 2\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

-8 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 2\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 2.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-8\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -8 mit -24.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+192}}{2\times 2}$$

Addieren Sie 64 zu 192.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{256}}{2\times 2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 256.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±16}{2\times 2}$$

Das Gegenteil von -8 ist 8.

$$x=\frac{8±16}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$x=\frac{8±16}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{8±16}{4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 8 zu 16.

$$x=\frac{24}{4}$$

Dividieren Sie 24 durch 4.

$$x=6$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{8±16}{4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 16 von 8.

$$x=-\frac{8}{4}$$

Dividieren Sie -8 durch 4.

$$x=-2$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=6 x=-2$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$2x^{2}-8x-24=0$$

Addieren Sie 24 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$2x^{2}-8x-24-\left(-24\right)=-\left(-24\right)$$

Die Subtraktion von -24 von sich selbst ergibt 0.

$$2x^{2}-8x=-\left(-24\right)$$

Subtrahieren Sie -24 von 0.

$$2x^{2}-8x=24$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$\frac{2x^{2}-8x}{2}=\frac{24}{2}$$

Division durch 2 macht die Multiplikation mit 2 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{2}\right)x=\frac{24}{2}$$

Dividieren Sie -8 durch 2.

$$x^{2}-4x=\frac{24}{2}$$

Dividieren Sie 24 durch 2.

$$x^{2}-4x=12$$

Dividieren Sie -4, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -2 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -2 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=12+\left(-2\right)^{2}$$

-2 zum Quadrat.

$$x^{2}-4x+4=12+4$$

Addieren Sie 12 zu 4.

$$x^{2}-4x+4=16$$

Faktor x^{2}-4x+4. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-2\right)^{2}=16$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Vereinfachen.

$$x-2=4 x-2=-4$$

Addieren Sie 2 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=6 x=-2$$