2x^2-7x+4=0 lösen

$$2 x ^ { 2 } - 7 x + 4 = 0$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{\sqrt{17} + 7}{4} \approx 2,780776406$$

$$x=\frac{7-\sqrt{17}}{4}\approx 0,719223594$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$2x^{2}-7x+4=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 2, b durch -7 und c durch 4, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 2\times 4}}{2\times 2}$$

-7 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 2\times 4}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 2.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-8\times 4}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -8 mit 4.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-32}}{2\times 2}$$

Addieren Sie 49 zu -32.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{17}}{2\times 2}$$

Das Gegenteil von -7 ist 7.

$$x=\frac{7±\sqrt{17}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$x=\frac{7±\sqrt{17}}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{7±\sqrt{17}}{4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 7 zu \sqrt{17}.

$$x=\frac{\sqrt{17}+7}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{7±\sqrt{17}}{4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie \sqrt{17} von 7.

$$x=\frac{7-\sqrt{17}}{4}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{17}+7}{4} x=\frac{7-\sqrt{17}}{4}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$2x^{2}-7x+4=0$$

4 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$2x^{2}-7x+4-4=-4$$

Die Subtraktion von 4 von sich selbst ergibt 0.

$$2x^{2}-7x=-4$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$\frac{2x^{2}-7x}{2}=-\frac{4}{2}$$

Division durch 2 macht die Multiplikation mit 2 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x=-\frac{4}{2}$$

Dividieren Sie -4 durch 2.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x=-2$$

Dividieren Sie -\frac{7}{2}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{7}{4} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{7}{4} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}=-2+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{7}{4}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=-2+\frac{49}{16}$$

Addieren Sie -2 zu \frac{49}{16}.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{17}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{17}{16}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{17}{16}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{7}{4}=\frac{\sqrt{17}}{4} x-\frac{7}{4}=-\frac{\sqrt{17}}{4}$$

Addieren Sie \frac{7}{4} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{\sqrt{17}+7}{4} x=\frac{7-\sqrt{17}}{4}$$