2x^2-6x+1=0 lösen

$$2 x ^ { 2 } - 6 x + 1 = 0$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{\sqrt{7} + 3}{2} \approx 2,822875656$$

$$x=\frac{3-\sqrt{7}}{2}\approx 0,177124344$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$2x^{2}-6x+1=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 2, b durch -6 und c durch 1, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 2}}{2\times 2}$$

-6 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 2}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 2.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-8}}{2\times 2}$$

Addieren Sie 36 zu -8.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{28}}{2\times 2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 28.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±2\sqrt{7}}{2\times 2}$$

Das Gegenteil von -6 ist 6.

$$x=\frac{6±2\sqrt{7}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$x=\frac{6±2\sqrt{7}}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{6±2\sqrt{7}}{4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 6 zu 2\sqrt{7}.

$$x=\frac{2\sqrt{7}+6}{4}$$

Dividieren Sie 6+2\sqrt{7} durch 4.

$$x=\frac{\sqrt{7}+3}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{6±2\sqrt{7}}{4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{7} von 6.

$$x=\frac{6-2\sqrt{7}}{4}$$

Dividieren Sie 6-2\sqrt{7} durch 4.

$$x=\frac{3-\sqrt{7}}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{7}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{7}}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$2x^{2}-6x+1=0$$

1 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$2x^{2}-6x+1-1=-1$$

Die Subtraktion von 1 von sich selbst ergibt 0.

$$2x^{2}-6x=-1$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$\frac{2x^{2}-6x}{2}=-\frac{1}{2}$$

Division durch 2 macht die Multiplikation mit 2 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{6}{2}\right)x=-\frac{1}{2}$$

Dividieren Sie -6 durch 2.

$$x^{2}-3x=-\frac{1}{2}$$

Dividieren Sie -3, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{3}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{3}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{3}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=-\frac{1}{2}+\frac{9}{4}$$

Addieren Sie -\frac{1}{2} zu \frac{9}{4}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{7}{4}$$

Faktor x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{7}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{7}}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{7}}{2}$$

Addieren Sie \frac{3}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{\sqrt{7}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{7}}{2}$$