2x^2-5x-9=0 lösen

$$2 x ^ { 2 } - 5 x - 9 = 0$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{\sqrt{97} + 5}{4} \approx 3,71221445$$

$$x=\frac{5-\sqrt{97}}{4}\approx -1,21221445$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$2x^{2}-5x-9=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 2, b durch -5 und c durch -9, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 2\left(-9\right)}}{2\times 2}$$

-5 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 2\left(-9\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 2.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-8\left(-9\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -8 mit -9.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+72}}{2\times 2}$$

Addieren Sie 25 zu 72.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{97}}{2\times 2}$$

Das Gegenteil von -5 ist 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{97}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$x=\frac{5±\sqrt{97}}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{5±\sqrt{97}}{4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 5 zu \sqrt{97}.

$$x=\frac{\sqrt{97}+5}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{5±\sqrt{97}}{4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie \sqrt{97} von 5.

$$x=\frac{5-\sqrt{97}}{4}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{97}+5}{4} x=\frac{5-\sqrt{97}}{4}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$2x^{2}-5x-9=0$$

Addieren Sie 9 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$2x^{2}-5x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Die Subtraktion von -9 von sich selbst ergibt 0.

$$2x^{2}-5x=-\left(-9\right)$$

Subtrahieren Sie -9 von 0.

$$2x^{2}-5x=9$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$\frac{2x^{2}-5x}{2}=\frac{9}{2}$$

Division durch 2 macht die Multiplikation mit 2 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=\frac{9}{2}$$

Dividieren Sie -\frac{5}{2}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{5}{4} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{5}{4} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{9}{2}+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{5}{4}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{9}{2}+\frac{25}{16}$$

Addieren Sie \frac{9}{2} zu \frac{25}{16}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{97}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{97}{16}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{97}{16}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{5}{4}=\frac{\sqrt{97}}{4} x-\frac{5}{4}=-\frac{\sqrt{97}}{4}$$

Addieren Sie \frac{5}{4} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{\sqrt{97}+5}{4} x=\frac{5-\sqrt{97}}{4}$$