2x^2-4x-5=7 lösen

$$2 x ^ { 2 } - 4 x - 5 = 7$$

Nach x auflösen

$$x=\sqrt{7}+1\approx 3,645751311$$

$$x=1-\sqrt{7}\approx -1,645751311$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$2x^{2}-4x-5=7$$

7 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$2x^{2}-4x-5-7=7-7$$

Die Subtraktion von 7 von sich selbst ergibt 0.

$$2x^{2}-4x-5-7=0$$

Subtrahieren Sie 7 von -5.

$$2x^{2}-4x-12=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 2, b durch -4 und c durch -12, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 2\left(-12\right)}}{2\times 2}$$

-4 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 2\left(-12\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 2.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-8\left(-12\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -8 mit -12.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+96}}{2\times 2}$$

Addieren Sie 16 zu 96.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{112}}{2\times 2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 112.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±4\sqrt{7}}{2\times 2}$$

Das Gegenteil von -4 ist 4.

$$x=\frac{4±4\sqrt{7}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$x=\frac{4±4\sqrt{7}}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{4±4\sqrt{7}}{4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 4 zu 4\sqrt{7}.

$$x=\frac{4\sqrt{7}+4}{4}$$

Dividieren Sie 4+4\sqrt{7} durch 4.

$$x=\sqrt{7}+1$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{4±4\sqrt{7}}{4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 4\sqrt{7} von 4.

$$x=\frac{4-4\sqrt{7}}{4}$$

Dividieren Sie 4-4\sqrt{7} durch 4.

$$x=1-\sqrt{7}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\sqrt{7}+1 x=1-\sqrt{7}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$2x^{2}-4x-5=7$$

Addieren Sie 5 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$2x^{2}-4x-5-\left(-5\right)=7-\left(-5\right)$$

Die Subtraktion von -5 von sich selbst ergibt 0.

$$2x^{2}-4x=7-\left(-5\right)$$

Subtrahieren Sie -5 von 7.

$$2x^{2}-4x=12$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$\frac{2x^{2}-4x}{2}=\frac{12}{2}$$

Division durch 2 macht die Multiplikation mit 2 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{2}\right)x=\frac{12}{2}$$

Dividieren Sie -4 durch 2.

$$x^{2}-2x=\frac{12}{2}$$

Dividieren Sie 12 durch 2.

$$x^{2}-2x=6$$

Dividieren Sie -2, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -1 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -1 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-2x+1=6+1$$

Addieren Sie 6 zu 1.

$$x^{2}-2x+1=7$$

Faktor x^{2}-2x+1. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-1\right)^{2}=7$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{7}$$

Vereinfachen.

$$x-1=\sqrt{7} x-1=-\sqrt{7}$$

Addieren Sie 1 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\sqrt{7}+1 x=1-\sqrt{7}$$