2x^2-3x-5=0 lösen

$$2 x ^ { 2 } - 3 x - 5 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=-1$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 2x^{2}+ax+bx-5 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-3 ab=2\left(-5\right)=-10$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -10 ergeben.

$$1,-10 2,-5$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-10=-9 2-5=-3$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -3 ergibt.

$$a=-5 b=2$$

2x^{2}-3x-5 als \left(2x^{2}-5x\right)+\left(2x-5\right) umschreiben.

$$\left(2x^{2}-5x\right)+\left(2x-5\right)$$

Klammern Sie x in 2x^{2}-5x aus.

$$x\left(2x-5\right)+2x-5$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 2x-5 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(2x-5\right)\left(x+1\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 2x-5=0 und x+1=0.

$$x=\frac{5}{2} x=-1$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$2x^{2}-3x-5=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 2, b durch -3 und c durch -5, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

-3 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 2.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-8\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -8 mit -5.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+40}}{2\times 2}$$

Addieren Sie 9 zu 40.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{49}}{2\times 2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 49.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±7}{2\times 2}$$

Das Gegenteil von -3 ist 3.

$$x=\frac{3±7}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$x=\frac{3±7}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{3±7}{4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 3 zu 7.

$$x=\frac{10}{4}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{10}{4} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{5}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{3±7}{4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 7 von 3.

$$x=-\frac{4}{4}$$

Dividieren Sie -4 durch 4.

$$x=-1$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{5}{2} x=-1$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$2x^{2}-3x-5=0$$

Addieren Sie 5 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$2x^{2}-3x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Die Subtraktion von -5 von sich selbst ergibt 0.

$$2x^{2}-3x=-\left(-5\right)$$

Subtrahieren Sie -5 von 0.

$$2x^{2}-3x=5$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$\frac{2x^{2}-3x}{2}=\frac{5}{2}$$

Division durch 2 macht die Multiplikation mit 2 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{5}{2}$$

Dividieren Sie -\frac{3}{2}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{3}{4} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{3}{4} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{3}{4}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{5}{2}+\frac{9}{16}$$

Addieren Sie \frac{5}{2} zu \frac{9}{16}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{49}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{49}{16}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{16}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{7}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{7}{4}$$

Addieren Sie \frac{3}{4} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{5}{2} x=-1$$