2x^2-24x+54=0 lösen

$$2 x ^ { 2 } - 24 x + 54 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=3$$

$$x=9$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$x^{2}-12x+27=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als x^{2}+ax+bx+27 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-12 ab=1\times 27=27$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 27 ergeben.

$$-1,-27 -3,-9$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-27=-28 -3-9=-12$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -12 ergibt.

$$a=-9 b=-3$$

x^{2}-12x+27 als \left(x^{2}-9x\right)+\left(-3x+27\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(-3x+27\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und -3 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x-9\right)-3\left(x-9\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-9 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-9\right)\left(x-3\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-9=0 und x-3=0.

$$x=9 x=3$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$2x^{2}-24x+54=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 2, b durch -24 und c durch 54, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 2\times 54}}{2\times 2}$$

-24 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 2\times 54}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 2.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-8\times 54}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -8 mit 54.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-432}}{2\times 2}$$

Addieren Sie 576 zu -432.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{144}}{2\times 2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 144.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±12}{2\times 2}$$

Das Gegenteil von -24 ist 24.

$$x=\frac{24±12}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$x=\frac{24±12}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{24±12}{4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 24 zu 12.

$$x=\frac{36}{4}$$

Dividieren Sie 36 durch 4.

$$x=9$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{24±12}{4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 12 von 24.

$$x=\frac{12}{4}$$

Dividieren Sie 12 durch 4.

$$x=3$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=9 x=3$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$2x^{2}-24x+54=0$$

54 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$2x^{2}-24x+54-54=-54$$

Die Subtraktion von 54 von sich selbst ergibt 0.

$$2x^{2}-24x=-54$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$\frac{2x^{2}-24x}{2}=-\frac{54}{2}$$

Division durch 2 macht die Multiplikation mit 2 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{2}\right)x=-\frac{54}{2}$$

Dividieren Sie -24 durch 2.

$$x^{2}-12x=-\frac{54}{2}$$

Dividieren Sie -54 durch 2.

$$x^{2}-12x=-27$$

Dividieren Sie -12, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -6 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -6 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-12x+\left(-6\right)^{2}=-27+\left(-6\right)^{2}$$

-6 zum Quadrat.

$$x^{2}-12x+36=-27+36$$

Addieren Sie -27 zu 36.

$$x^{2}-12x+36=9$$

Faktor x^{2}-12x+36. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-6\right)^{2}=9$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-6\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Vereinfachen.

$$x-6=3 x-6=-3$$

Addieren Sie 6 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=9 x=3$$