2x^2-2x-12=28 lösen

$$2 x ^ { 2 } - 2 x - 12 = 28$$

Nach x auflösen

$$x=-4$$

$$x=5$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Subtrahieren Sie 28 von beiden Seiten.

$$2x^{2}-2x-12-28=0$$

Subtrahieren Sie 28 von -12, um -40 zu erhalten.

$$2x^{2}-2x-40=0$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$x^{2}-x-20=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als x^{2}+ax+bx-20 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-1 ab=1\left(-20\right)=-20$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -20 ergeben.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -1 ergibt.

$$a=-5 b=4$$

x^{2}-x-20 als \left(x^{2}-5x\right)+\left(4x-20\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(4x-20\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 4 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x-5\right)+4\left(x-5\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-5 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-5\right)\left(x+4\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-5=0 und x+4=0.

$$x=5 x=-4$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$2x^{2}-2x-12=28$$

28 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$2x^{2}-2x-12-28=28-28$$

Die Subtraktion von 28 von sich selbst ergibt 0.

$$2x^{2}-2x-12-28=0$$

Subtrahieren Sie 28 von -12.

$$2x^{2}-2x-40=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 2, b durch -2 und c durch -40, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

-2 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -8 mit -40.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+320}}{2\times 2}$$

Addieren Sie 4 zu 320.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{324}}{2\times 2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 324.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±18}{2\times 2}$$

Das Gegenteil von -2 ist 2.

$$x=\frac{2±18}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$x=\frac{2±18}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{2±18}{4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 2 zu 18.

$$x=\frac{20}{4}$$

Dividieren Sie 20 durch 4.

$$x=5$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{2±18}{4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 18 von 2.

$$x=-\frac{16}{4}$$

Dividieren Sie -16 durch 4.

$$x=-4$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=5 x=-4$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$2x^{2}-2x-12=28$$

Addieren Sie 12 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$2x^{2}-2x-12-\left(-12\right)=28-\left(-12\right)$$

Die Subtraktion von -12 von sich selbst ergibt 0.

$$2x^{2}-2x=28-\left(-12\right)$$

Subtrahieren Sie -12 von 28.

$$2x^{2}-2x=40$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$\frac{2x^{2}-2x}{2}=\frac{40}{2}$$

Division durch 2 macht die Multiplikation mit 2 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{2}\right)x=\frac{40}{2}$$

Dividieren Sie -2 durch 2.

$$x^{2}-x=\frac{40}{2}$$

Dividieren Sie 40 durch 2.

$$x^{2}-x=20$$

Dividieren Sie -1, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{1}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{1}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=20+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{1}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=20+\frac{1}{4}$$

Addieren Sie 20 zu \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{81}{4}$$

Faktor x^{2}-x+\frac{1}{4}. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{9}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{9}{2}$$

Addieren Sie \frac{1}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=5 x=-4$$