2x^2-2x-1=0 lösen

$$2 x ^ { 2 } - 2 x - 1 = 0$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \approx 1,366025404$$

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}\approx -0,366025404$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$2x^{2}-2x-1=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 2, b durch -2 und c durch -1, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

-2 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -8 mit -1.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2\times 2}$$

Addieren Sie 4 zu 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2\times 2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

Das Gegenteil von -2 ist 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 2 zu 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{4}$$

Dividieren Sie 2+2\sqrt{3} durch 4.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{3} von 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{4}$$

Dividieren Sie 2-2\sqrt{3} durch 4.

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$2x^{2}-2x-1=0$$

Addieren Sie 1 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$2x^{2}-2x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Die Subtraktion von -1 von sich selbst ergibt 0.

$$2x^{2}-2x=-\left(-1\right)$$

Subtrahieren Sie -1 von 0.

$$2x^{2}-2x=1$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$\frac{2x^{2}-2x}{2}=\frac{1}{2}$$

Division durch 2 macht die Multiplikation mit 2 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{2}\right)x=\frac{1}{2}$$

Dividieren Sie -2 durch 2.

$$x^{2}-x=\frac{1}{2}$$

Dividieren Sie -1, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{1}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{1}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{1}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

Addieren Sie \frac{1}{2} zu \frac{1}{4}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

Faktor x^{2}-x+\frac{1}{4}. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Addieren Sie \frac{1}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$