2x^2-13x-24 lösen

$$2 x ^ { 2 } - 13 x - 24$$

Faktorisieren

$$\left(x-8\right)\left(2x+3\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 2x^{2}+ax+bx-24 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-13 ab=2\left(-24\right)=-48$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -48 ergeben.

$$1,-48 2,-24 3,-16 4,-12 6,-8$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-48=-47 2-24=-22 3-16=-13 4-12=-8 6-8=-2$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -13 ergibt.

$$a=-16 b=3$$

2x^{2}-13x-24 als \left(2x^{2}-16x\right)+\left(3x-24\right) umschreiben.

$$\left(2x^{2}-16x\right)+\left(3x-24\right)$$

Klammern Sie 2x in der ersten und 3 in der zweiten Gruppe aus.

$$2x\left(x-8\right)+3\left(x-8\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-8 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-8\right)\left(2x+3\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$2x^{2}-13x-24=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 2\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

-13 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 2\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 2.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-8\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -8 mit -24.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169+192}}{2\times 2}$$

Addieren Sie 169 zu 192.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{361}}{2\times 2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 361.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±19}{2\times 2}$$

Das Gegenteil von -13 ist 13.

$$x=\frac{13±19}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$x=\frac{13±19}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{13±19}{4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 13 zu 19.

$$x=\frac{32}{4}$$

Dividieren Sie 32 durch 4.

$$x=8$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{13±19}{4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 19 von 13.

$$x=-\frac{6}{4}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-6}{4} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} 8 und für x_{2} -\frac{3}{2} ein.

$$2x^{2}-13x-24=2\left(x-8\right)\left(x-\left(-\frac{3}{2}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$2x^{2}-13x-24=2\left(x-8\right)\left(x+\frac{3}{2}\right)$$

Addieren Sie \frac{3}{2} zu x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$2x^{2}-13x-24=2\left(x-8\right)\times \frac{2x+3}{2}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 2 in 2 und 2 aufheben.

$$2x^{2}-13x-24=\left(x-8\right)\left(2x+3\right)$$

Auswerten

$$\left(x-8\right)\left(2x+3\right)$$