2x^2-12x+18=0 lösen

$$2 x ^ { 2 } - 12 x + 18 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=3$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$x^{2}-6x+9=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als x^{2}+ax+bx+9 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-6 ab=1\times 9=9$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 9 ergeben.

$$-1,-9 -3,-3$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-9=-10 -3-3=-6$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -6 ergibt.

$$a=-3 b=-3$$

x^{2}-6x+9 als \left(x^{2}-3x\right)+\left(-3x+9\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(-3x+9\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und -3 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x-3\right)-3\left(x-3\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-3 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-3\right)\left(x-3\right)$$

Umschreiben als binomisches Quadrat.

$$\left(x-3\right)^{2}$$

Um eine Lösung für die Gleichung zu finden, lösen Sie x-3=0.

$$x=3$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$2x^{2}-12x+18=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 2, b durch -12 und c durch 18, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 2\times 18}}{2\times 2}$$

-12 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 2\times 18}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 2.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-8\times 18}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -8 mit 18.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-144}}{2\times 2}$$

Addieren Sie 144 zu -144.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{0}}{2\times 2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 0.

$$x=-\frac{-12}{2\times 2}$$

Das Gegenteil von -12 ist 12.

$$x=\frac{12}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$x=\frac{12}{4}$$

Dividieren Sie 12 durch 4.

$$x=3$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$2x^{2}-12x+18=0$$

18 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$2x^{2}-12x+18-18=-18$$

Die Subtraktion von 18 von sich selbst ergibt 0.

$$2x^{2}-12x=-18$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$\frac{2x^{2}-12x}{2}=-\frac{18}{2}$$

Division durch 2 macht die Multiplikation mit 2 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{2}\right)x=-\frac{18}{2}$$

Dividieren Sie -12 durch 2.

$$x^{2}-6x=-\frac{18}{2}$$

Dividieren Sie -18 durch 2.

$$x^{2}-6x=-9$$

Dividieren Sie -6, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -3 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -3 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=-9+\left(-3\right)^{2}$$

-3 zum Quadrat.

$$x^{2}-6x+9=-9+9$$

Addieren Sie -9 zu 9.

$$x^{2}-6x+9=0$$

Faktor x^{2}-6x+9. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(x-3\right)^{2}=0$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Vereinfachen.

$$x-3=0 x-3=0$$

Addieren Sie 3 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=3 x=3$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst. Die Lösungen sind identisch.

$$x=3$$