2x^2-10x=3 lösen

$$2 x ^ { 2 } - 10 x = 3$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{\sqrt{31} + 5}{2} \approx 5,283882181$$

$$x=\frac{5-\sqrt{31}}{2}\approx -0,283882181$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$2x^{2}-10x=3$$

3 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$2x^{2}-10x-3=3-3$$

Die Subtraktion von 3 von sich selbst ergibt 0.

$$2x^{2}-10x-3=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 2, b durch -10 und c durch -3, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

-10 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 2.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-8\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -8 mit -3.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+24}}{2\times 2}$$

Addieren Sie 100 zu 24.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{124}}{2\times 2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 124.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{31}}{2\times 2}$$

Das Gegenteil von -10 ist 10.

$$x=\frac{10±2\sqrt{31}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$x=\frac{10±2\sqrt{31}}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{10±2\sqrt{31}}{4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 10 zu 2\sqrt{31}.

$$x=\frac{2\sqrt{31}+10}{4}$$

Dividieren Sie 10+2\sqrt{31} durch 4.

$$x=\frac{\sqrt{31}+5}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{10±2\sqrt{31}}{4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{31} von 10.

$$x=\frac{10-2\sqrt{31}}{4}$$

Dividieren Sie 10-2\sqrt{31} durch 4.

$$x=\frac{5-\sqrt{31}}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{31}+5}{2} x=\frac{5-\sqrt{31}}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$2x^{2}-10x=3$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$\frac{2x^{2}-10x}{2}=\frac{3}{2}$$

Division durch 2 macht die Multiplikation mit 2 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{2}\right)x=\frac{3}{2}$$

Dividieren Sie -10 durch 2.

$$x^{2}-5x=\frac{3}{2}$$

Dividieren Sie -5, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{5}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{5}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{3}{2}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{5}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{3}{2}+\frac{25}{4}$$

Addieren Sie \frac{3}{2} zu \frac{25}{4}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{31}{4}$$

Faktor x^{2}-5x+\frac{25}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{31}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{31}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{31}}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{31}}{2}$$

Addieren Sie \frac{5}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{\sqrt{31}+5}{2} x=\frac{5-\sqrt{31}}{2}$$