2x^2+9x-1=0 lösen

$$2 x ^ { 2 } + 9 x - 1 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=\frac{\sqrt{89}-9}{4}\approx 0.108495283$$

$$x=\frac{-\sqrt{89}-9}{4}\approx -4.608495283$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$2x^{2}+9x-1=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 2, b durch 9 und c durch -1, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

9 zum Quadrat.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 2.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -8 mit -1.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+8}}{2\times 2}$$

Addieren Sie 81 zu 8.

$$x=\frac{-9±\sqrt{89}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$x=\frac{-9±\sqrt{89}}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-9±\sqrt{89}}{4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -9 zu \sqrt{89}.

$$x=\frac{\sqrt{89}-9}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-9±\sqrt{89}}{4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie \sqrt{89} von -9.

$$x=\frac{-\sqrt{89}-9}{4}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{89}-9}{4} x=\frac{-\sqrt{89}-9}{4}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$2x^{2}+9x-1=0$$

Addieren Sie 1 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$2x^{2}+9x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Die Subtraktion von -1 von sich selbst ergibt 0.

$$2x^{2}+9x=-\left(-1\right)$$

Subtrahieren Sie -1 von 0.

$$2x^{2}+9x=1$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$\frac{2x^{2}+9x}{2}=\frac{1}{2}$$

Division durch 2 macht die Multiplikation mit 2 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x=\frac{1}{2}$$

Dividieren Sie \frac{9}{2}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{9}{4} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{9}{4} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{9}{4}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{1}{2}+\frac{81}{16}$$

Addieren Sie \frac{1}{2} zu \frac{81}{16}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{89}{16}$$

Faktor x^{2}+\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(x+\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{89}{16}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{89}{16}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{9}{4}=\frac{\sqrt{89}}{4} x+\frac{9}{4}=-\frac{\sqrt{89}}{4}$$

\frac{9}{4} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{\sqrt{89}-9}{4} x=\frac{-\sqrt{89}-9}{4}$$