2x^2+8x+9=0 lösen

$$2 x ^ { 2 } + 8 x + 9 = 0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{\sqrt{2}i}{2}-2\approx -2+0,707106781i$$

$$x=-\frac{\sqrt{2}i}{2}-2\approx -2-0,707106781i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$2x^{2}+8x+9=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 2, b durch 8 und c durch 9, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 2\times 9}}{2\times 2}$$

8 zum Quadrat.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 2\times 9}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 2.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-8\times 9}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -8 mit 9.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-72}}{2\times 2}$$

Addieren Sie 64 zu -72.

$$x=\frac{-8±\sqrt{-8}}{2\times 2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -8.

$$x=\frac{-8±2\sqrt{2}i}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$x=\frac{-8±2\sqrt{2}i}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-8±2\sqrt{2}i}{4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -8 zu 2i\sqrt{2}.

$$x=\frac{-8+2\sqrt{2}i}{4}$$

Dividieren Sie -8+2i\sqrt{2} durch 4.

$$x=\frac{\sqrt{2}i}{2}-2$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-8±2\sqrt{2}i}{4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2i\sqrt{2} von -8.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i-8}{4}$$

Dividieren Sie -8-2i\sqrt{2} durch 4.

$$x=-\frac{\sqrt{2}i}{2}-2$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{2}i}{2}-2 x=-\frac{\sqrt{2}i}{2}-2$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$2x^{2}+8x+9=0$$

9 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$2x^{2}+8x+9-9=-9$$

Die Subtraktion von 9 von sich selbst ergibt 0.

$$2x^{2}+8x=-9$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$\frac{2x^{2}+8x}{2}=-\frac{9}{2}$$

Division durch 2 macht die Multiplikation mit 2 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{8}{2}x=-\frac{9}{2}$$

Dividieren Sie 8 durch 2.

$$x^{2}+4x=-\frac{9}{2}$$

Dividieren Sie 4, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um 2 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von 2 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+4x+2^{2}=-\frac{9}{2}+2^{2}$$

2 zum Quadrat.

$$x^{2}+4x+4=-\frac{9}{2}+4$$

Addieren Sie -\frac{9}{2} zu 4.

$$x^{2}+4x+4=-\frac{1}{2}$$

Faktor x^{2}+4x+4. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(x+2\right)^{2}=-\frac{1}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+2\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{2}}$$

Vereinfachen.

$$x+2=\frac{\sqrt{2}i}{2} x+2=-\frac{\sqrt{2}i}{2}$$

2 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{\sqrt{2}i}{2}-2 x=-\frac{\sqrt{2}i}{2}-2$$