2x^2+7x-30 lösen

$$2 x ^ { 2 } + 7 x - 30$$

Faktorisieren

$$\left(2x-5\right)\left(x+6\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 2x^{2}+ax+bx-30 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=7 ab=2\left(-30\right)=-60$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -60 ergeben.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 7 ergibt.

$$a=-5 b=12$$

2x^{2}+7x-30 als \left(2x^{2}-5x\right)+\left(12x-30\right) umschreiben.

$$\left(2x^{2}-5x\right)+\left(12x-30\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 6 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(2x-5\right)+6\left(2x-5\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 2x-5 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(2x-5\right)\left(x+6\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$2x^{2}+7x-30=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 2\left(-30\right)}}{2\times 2}$$

7 zum Quadrat.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 2\left(-30\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-8\left(-30\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -8 mit -30.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+240}}{2\times 2}$$

Addieren Sie 49 zu 240.

$$x=\frac{-7±\sqrt{289}}{2\times 2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 289.

$$x=\frac{-7±17}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$x=\frac{-7±17}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-7±17}{4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -7 zu 17.

$$x=\frac{10}{4}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{10}{4} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{5}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-7±17}{4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 17 von -7.

$$x=-\frac{24}{4}$$

Dividieren Sie -24 durch 4.

$$x=-6$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} \frac{5}{2} und für x_{2} -6 ein.

$$2x^{2}+7x-30=2\left(x-\frac{5}{2}\right)\left(x-\left(-6\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$2x^{2}+7x-30=2\left(x-\frac{5}{2}\right)\left(x+6\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{5}{2} von x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$2x^{2}+7x-30=2\times \frac{2x-5}{2}\left(x+6\right)$$

Den größten gemeinsamen Faktor 2 in 2 und 2 aufheben.

$$2x^{2}+7x-30=\left(2x-5\right)\left(x+6\right)$$

Auswerten

$$\left(2x-5\right)\left(x+6\right)$$