2x^2+7x-15=0 lösen

$$2 x ^ { 2 } + 7 x - 15 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=-5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 2x^{2}+ax+bx-15 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=7 ab=2\left(-15\right)=-30$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -30 ergeben.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 7 ergibt.

$$a=-3 b=10$$

2x^{2}+7x-15 als \left(2x^{2}-3x\right)+\left(10x-15\right) umschreiben.

$$\left(2x^{2}-3x\right)+\left(10x-15\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 5 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(2x-3\right)+5\left(2x-3\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 2x-3 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(2x-3\right)\left(x+5\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 2x-3=0 und x+5=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-5$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$2x^{2}+7x-15=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 2, b durch 7 und c durch -15, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 2\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

7 zum Quadrat.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 2\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-8\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -8 mit -15.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+120}}{2\times 2}$$

Addieren Sie 49 zu 120.

$$x=\frac{-7±\sqrt{169}}{2\times 2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 169.

$$x=\frac{-7±13}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$x=\frac{-7±13}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-7±13}{4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -7 zu 13.

$$x=\frac{6}{4}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{6}{4} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{3}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-7±13}{4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 13 von -7.

$$x=-\frac{20}{4}$$

Dividieren Sie -20 durch 4.

$$x=-5$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{3}{2} x=-5$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$2x^{2}+7x-15=0$$

Addieren Sie 15 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$2x^{2}+7x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Die Subtraktion von -15 von sich selbst ergibt 0.

$$2x^{2}+7x=-\left(-15\right)$$

Subtrahieren Sie -15 von 0.

$$2x^{2}+7x=15$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$\frac{2x^{2}+7x}{2}=\frac{15}{2}$$

Division durch 2 macht die Multiplikation mit 2 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=\frac{15}{2}$$

Dividieren Sie \frac{7}{2}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{7}{4} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{7}{4} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{15}{2}+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{7}{4}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{15}{2}+\frac{49}{16}$$

Addieren Sie \frac{15}{2} zu \frac{49}{16}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{169}{16}$$

Faktor x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{169}{16}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{16}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{7}{4}=\frac{13}{4} x+\frac{7}{4}=-\frac{13}{4}$$

\frac{7}{4} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{3}{2} x=-5$$