2x^2+7x+5=0 lösen

$$2 x ^ { 2 } + 7 x + 5 = 0$$

Nach x auflösen

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=-1$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 2x^{2}+ax+bx+5 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=7 ab=2\times 5=10$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 10 ergeben.

$$1,10 2,5$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+10=11 2+5=7$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 7 ergibt.

$$a=2 b=5$$

2x^{2}+7x+5 als \left(2x^{2}+2x\right)+\left(5x+5\right) umschreiben.

$$\left(2x^{2}+2x\right)+\left(5x+5\right)$$

Klammern Sie 2x in der ersten und 5 in der zweiten Gruppe aus.

$$2x\left(x+1\right)+5\left(x+1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x+1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x+1\right)\left(2x+5\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x+1=0 und 2x+5=0.

$$x=-1 x=-\frac{5}{2}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$2x^{2}+7x+5=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 2, b durch 7 und c durch 5, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

7 zum Quadrat.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-8\times 5}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -8 mit 5.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-40}}{2\times 2}$$

Addieren Sie 49 zu -40.

$$x=\frac{-7±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 9.

$$x=\frac{-7±3}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$x=\frac{-7±3}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-7±3}{4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -7 zu 3.

$$x=-\frac{4}{4}$$

Dividieren Sie -4 durch 4.

$$x=-1$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-7±3}{4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 3 von -7.

$$x=-\frac{10}{4}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-10}{4} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=-1 x=-\frac{5}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$2x^{2}+7x+5=0$$

5 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$2x^{2}+7x+5-5=-5$$

Die Subtraktion von 5 von sich selbst ergibt 0.

$$2x^{2}+7x=-5$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$\frac{2x^{2}+7x}{2}=-\frac{5}{2}$$

Division durch 2 macht die Multiplikation mit 2 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=-\frac{5}{2}$$

Dividieren Sie \frac{7}{2}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{7}{4} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{7}{4} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{7}{4}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=-\frac{5}{2}+\frac{49}{16}$$

Addieren Sie -\frac{5}{2} zu \frac{49}{16}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{9}{16}$$

Faktor x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{7}{4}=\frac{3}{4} x+\frac{7}{4}=-\frac{3}{4}$$

\frac{7}{4} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=-1 x=-\frac{5}{2}$$