2x^2+6x-5=0 lösen

$$2 x ^ { 2 } + 6 x - 5 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=\frac{\sqrt{19}-3}{2}\approx 0,679449472$$

$$x=\frac{-\sqrt{19}-3}{2}\approx -3,679449472$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$2x^{2}+6x-5=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 2, b durch 6 und c durch -5, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

6 zum Quadrat.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 2.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-8\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -8 mit -5.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+40}}{2\times 2}$$

Addieren Sie 36 zu 40.

$$x=\frac{-6±\sqrt{76}}{2\times 2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 76.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{19}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{19}}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-6±2\sqrt{19}}{4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -6 zu 2\sqrt{19}.

$$x=\frac{2\sqrt{19}-6}{4}$$

Dividieren Sie -6+2\sqrt{19} durch 4.

$$x=\frac{\sqrt{19}-3}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-6±2\sqrt{19}}{4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{19} von -6.

$$x=\frac{-2\sqrt{19}-6}{4}$$

Dividieren Sie -6-2\sqrt{19} durch 4.

$$x=\frac{-\sqrt{19}-3}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{19}-3}{2} x=\frac{-\sqrt{19}-3}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$2x^{2}+6x-5=0$$

Addieren Sie 5 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$2x^{2}+6x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Die Subtraktion von -5 von sich selbst ergibt 0.

$$2x^{2}+6x=-\left(-5\right)$$

Subtrahieren Sie -5 von 0.

$$2x^{2}+6x=5$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$\frac{2x^{2}+6x}{2}=\frac{5}{2}$$

Division durch 2 macht die Multiplikation mit 2 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{6}{2}x=\frac{5}{2}$$

Dividieren Sie 6 durch 2.

$$x^{2}+3x=\frac{5}{2}$$

Dividieren Sie 3, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{3}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{3}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{3}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{5}{2}+\frac{9}{4}$$

Addieren Sie \frac{5}{2} zu \frac{9}{4}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{19}{4}$$

Faktor x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{19}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{19}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{19}}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{19}}{2}$$

\frac{3}{2} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{\sqrt{19}-3}{2} x=\frac{-\sqrt{19}-3}{2}$$