2x^2+5x-12=0 lösen

$$2 x ^ { 2 } + 5 x - 12 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=-4$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 2x^{2}+ax+bx-12 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=5 ab=2\left(-12\right)=-24$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -24 ergeben.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 5 ergibt.

$$a=-3 b=8$$

2x^{2}+5x-12 als \left(2x^{2}-3x\right)+\left(8x-12\right) umschreiben.

$$\left(2x^{2}-3x\right)+\left(8x-12\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 4 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(2x-3\right)+4\left(2x-3\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 2x-3 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(2x-3\right)\left(x+4\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 2x-3=0 und x+4=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-4$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$2x^{2}+5x-12=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 2, b durch 5 und c durch -12, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\left(-12\right)}}{2\times 2}$$

5 zum Quadrat.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2\left(-12\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-8\left(-12\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -8 mit -12.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+96}}{2\times 2}$$

Addieren Sie 25 zu 96.

$$x=\frac{-5±\sqrt{121}}{2\times 2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 121.

$$x=\frac{-5±11}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$x=\frac{-5±11}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-5±11}{4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -5 zu 11.

$$x=\frac{6}{4}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{6}{4} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{3}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-5±11}{4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 11 von -5.

$$x=-\frac{16}{4}$$

Dividieren Sie -16 durch 4.

$$x=-4$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{3}{2} x=-4$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$2x^{2}+5x-12=0$$

Addieren Sie 12 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$2x^{2}+5x-12-\left(-12\right)=-\left(-12\right)$$

Die Subtraktion von -12 von sich selbst ergibt 0.

$$2x^{2}+5x=-\left(-12\right)$$

Subtrahieren Sie -12 von 0.

$$2x^{2}+5x=12$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$\frac{2x^{2}+5x}{2}=\frac{12}{2}$$

Division durch 2 macht die Multiplikation mit 2 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=\frac{12}{2}$$

Dividieren Sie 12 durch 2.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=6$$

Dividieren Sie \frac{5}{2}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{5}{4} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{5}{4} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=6+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{5}{4}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=6+\frac{25}{16}$$

Addieren Sie 6 zu \frac{25}{16}.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{121}{16}$$

Faktor x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{121}{16}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{16}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{5}{4}=\frac{11}{4} x+\frac{5}{4}=-\frac{11}{4}$$

\frac{5}{4} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{3}{2} x=-4$$