2x^2+5x=8 lösen

$$2 x ^ { 2 } + 5 x = 8$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{\sqrt{89} - 5}{4} \approx 1.108495283$$

$$x=\frac{-\sqrt{89}-5}{4}\approx -3.608495283$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$2x^{2}+5x=8$$

8 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$2x^{2}+5x-8=8-8$$

Die Subtraktion von 8 von sich selbst ergibt 0.

$$2x^{2}+5x-8=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 2, b durch 5 und c durch -8, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\left(-8\right)}}{2\times 2}$$

5 zum Quadrat.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2\left(-8\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-8\left(-8\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -8 mit -8.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+64}}{2\times 2}$$

Addieren Sie 25 zu 64.

$$x=\frac{-5±\sqrt{89}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{89}}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-5±\sqrt{89}}{4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -5 zu \sqrt{89}.

$$x=\frac{\sqrt{89}-5}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-5±\sqrt{89}}{4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie \sqrt{89} von -5.

$$x=\frac{-\sqrt{89}-5}{4}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{89}-5}{4} x=\frac{-\sqrt{89}-5}{4}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$2x^{2}+5x=8$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$\frac{2x^{2}+5x}{2}=\frac{8}{2}$$

Division durch 2 macht die Multiplikation mit 2 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=\frac{8}{2}$$

Dividieren Sie 8 durch 2.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=4$$

Dividieren Sie \frac{5}{2}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{5}{4} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{5}{4} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=4+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{5}{4}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=4+\frac{25}{16}$$

Addieren Sie 4 zu \frac{25}{16}.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{89}{16}$$

Faktor x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{89}{16}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{89}{16}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{5}{4}=\frac{\sqrt{89}}{4} x+\frac{5}{4}=-\frac{\sqrt{89}}{4}$$

\frac{5}{4} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{\sqrt{89}-5}{4} x=\frac{-\sqrt{89}-5}{4}$$